Determine a transformada inversa de Laplace
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! A questão pede pra gente encontrar a transformada inversa de $ F(s) = \frac{1}{s^{3}} $. A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações no tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar entender como inverter uma função simples de Laplace usando tabelas ou fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para funções de potência. Sabemos que:
Aqui, $ n! $ é o fatorial de $ n $. Nossa função $ F(s) = \frac{1}{s^{3}} $ se parece com a fórmula acima. Vamos identificar os valores de $ n $ que fazem as duas expressões equivalentes.
Passo 3
Comparando $ F(s) = \frac{1}{s^{3}} $ com $ \frac{n!}{s^{n+1}} $, percebemos que:
Então, $ n = 2 $ é o valor que usamos na fórmula. Isso significa que a função no tempo que corresponde a $ F(s) $ é $ t^{2} $ vezes algum fator relacionado ao fatorial.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula invertida. Sabemos que:
Como $ 2! = 2 $, simplificamos para:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é $ \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s{3}}\right} = \frac{t^{2}}{2} $.