Encontre a equação geral para cada equação diferencial dada
y^prime prime-y^prime-6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a equação geral da equação diferencial dada:
y'' - y' - 6y = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, que envolve as derivadas primeiro e segundo de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral para essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, que é mais fácil de resolver. Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y' = r e^rt :
y'' = r^2 e^rt
r^2 e^rt - r e^rt - 6 e^rt = 0
Substituímos essas derivadas na equação diferencial original:

Passo 4

Podemos fatorar e^rt (r^2 - r - 6) = 0 da equação:
r^2 - r - 6 = 0
Como nunca é zero, podemos simplificar para:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 - r - 6 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm raiz252 = 1 pm 52
Então, temos duas soluções para r1 = 1 + 52 = 3 :
r2 = 1 - 52 = -2

Passo 6

Com as raízes y(t) = C1 e^3t + C2 e^-2t e , a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes:
onde e são constantes que podem ser determinadas a partir de condições iniciais (se fornecidas).

Resposta

A equação geral da equação diferencial dada é:
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-2t

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