Encontre a equação geral para cada equação diferencial dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a equação geral da equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, que envolve as derivadas primeiro e segundo de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral para essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, que é mais fácil de resolver. Para isso, assumimos que a solução
tem a forma
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituímos essas derivadas na equação diferencial original:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, podemos simplificar para:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 6
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas a partir de condições iniciais (se fornecidas).
Resposta
A equação geral da equação diferencial dada é: