Determine a transformada inversa de Laplace
L^-1s^2+6 s+9(s-1)(s-2)(s+4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão:
L^-1s^2+6 s+9(s-1)(s-2)(s+4)
Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são usadas para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que ajuda a simplificar frações complexas para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma decomposição em frações parciais da expressão:
s^2+6 s+9(s-1)(s-2)(s+4) = As-1 + Bs-2 + Cs+4
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores para eliminar as frações:
s^2 + 6s + 9 = A(s-2)(s+4) + B(s-1)(s+4) + C(s-1)(s-2)
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 4

Vamos usar valores específicos de $ s $ para simplificar a equação.
  1. Para $ s = 1 $:
s
s = 1
1^2 + 6(1) + 9 = A(1-2)(1+4)
  1. Para $ s = 2 $:
1 + 6 + 9 = A(-1)(5)
16 = -5A implies A = -165
s = 2
  1. Para $ s = -4 $:
2^2 + 6(2) + 9 = B(2-1)(2+4)
4 + 12 + 9 = B(1)(6)
25 = 6B implies B = 256

Passo 5

Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, substituímos de volta na decomposição:
A

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Lembrando que:
L^-11s-a = e^a t
Aplicando isso:
L^-1-165cdot1s-1 = -165e^t
L^-1256cdot1s-2 = 256e^2t
L^-1130cdot1s+4 = 130e^-4t

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
f(t) = -165e^t + 256e^2t + 130e^-4t

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