Resolva o problema de valor inicial usando coeficientes a determinar e transformadas de Laplace
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^-4 t y(0)=1 e y^prime(0)=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e algumas condições iniciais. Vamos usar dois métodos: coeficientes a determinar (também conhecido como método dos coeficientes indeterminados) e as transformadas de Laplace. Para isso, precisamos entender conceitos básicos de equações diferenciais e transformadas integrais. Vamos dar um jeito nisso!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
y'' - 3y' + 2y = e^-4t
E as condições iniciais são:
y(0) = 1 e y'(0) = 5
Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz essa equação e essas condições.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo do lado direito:
y'' - 3y' + 2y = 0
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma $ y_h = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Substituindo $ y_h = e^{rt} $ na equação homogênea:
yh = e^rt
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rt - 3r e^rt + 2 e^rt = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para $ r $:
r
Usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 3r + 2 = 0
Então, as raízes são:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12

Passo 6

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa:
yp
Como o termo do lado direito é $ e^{-4t} $, vamos supor uma solução da forma $ y_p = A e^{-4t} $, onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.

Passo 8

Calculamos as derivadas necessárias de $ y_p $:
yp
yp' = -4A e^-4t

Passo 9

Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
yp
Simplificando:
yp'
yp''
16A e^-4t - 3(-4A e^-4t) + 2(A e^-4t) = e^-4t

Passo 10

Igualando os coeficientes:
30A = 1 Rightarrow A = 130
Então, a solução particular é:
yp(t) = 130 e^-4t

Passo 11

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^t + 130 e^-4t

Passo 12

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 1 $:
C1
C2

Passo 13

Agora, derivamos $ y(t) $ para obter $ y’(t) $:
y(t)
Aplicamos a condição $ y’(0) = 5 $:
y'(t)
y'(t) = 2C1 e^2t + C2 e^t - 430 e^-4t

Passo 14

Agora, temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 2930 2C1 + C2 = 7715
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2C1 + C2) - (C1 + C2) = 7715 - 2930
C1 = 15430 - 2930 = 12530 = 256

Passo 15

Substituindo $ C_1 = \frac{25}{6} $ na primeira equação:
C1 = 256
256 + C2 = 2930

Passo 16

Agora, temos todas as constantes:
C1 = 256 e C2 = -165
Substituímos na solução geral:
y(t) = 256 e^2t - 165 e^t + 130 e^-4t

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 256 e^2t - 165 e^t + 130 e^-4t

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