Resolva o problema de valor inicial usando coeficientes a determinar e transformadas de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e algumas condições iniciais. Vamos usar dois métodos: coeficientes a determinar (também conhecido como método dos coeficientes indeterminados) e as transformadas de Laplace. Para isso, precisamos entender conceitos básicos de equações diferenciais e transformadas integrais. Vamos dar um jeito nisso!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
E as condições iniciais são:
Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz essa equação e essas condições.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo do lado direito:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma $ y_h = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Substituindo $ y_h = e^{rt} $ na equação homogênea:
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para $ r $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa:
Como o termo do lado direito é $ e^{-4t} $, vamos supor uma solução da forma $ y_p = A e^{-4t} $, onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.
Passo 8
Calculamos as derivadas necessárias de $ y_p $:
Passo 9
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 10
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 12
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 1 $:
Passo 13
Agora, derivamos $ y(t) $ para obter $ y’(t) $:
Aplicamos a condição $ y’(0) = 5 $:
Passo 14
Agora, temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 15
Substituindo $ C_1 = \frac{25}{6} $ na primeira equação:
Passo 16
Agora, temos todas as constantes:
Substituímos na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: