Determine a transformada inversa de Laplace:
mathscrL^-15(s+2)^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de \r
F(s)=5(s+2)^4. \r
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da transformada de Laplace de potências de t multiplicadas por um decaimento exponencial.

Passo 2

Lembramos que, para qualquer inteiro n>=0 e constante a, vale \r
mathscrLt^n e^-a t =n!(s+a)^,n+1 \r
Isso significa que um termo da forma 1(s+a)^n+1 corresponde a t^n e^-a t/n!.

Passo 3

No nosso caso temos F(s)=5,(s+2)^-4. Comparando com a fórmula acima, vemos que n+1=4, logo n=3, e a=2. Se fosse exatamente 3!(s+2)^4, a transformada inversa seria t^3e^-2t. Mas o numerador é 5 em vez de 3!=6.

Passo 4

Para ajustar o numerador, introduzimos um fator tfrac56: \r
5(s+2)^4 =56,6(s+2)^4 =56,mathscrLt^3e^-2t \r
Portanto, aplicando a transformada inversa, obtemos \r
mathscrL^-15(s+2)^4 =56,t^3 e^-2t

Resposta

56,t^3 e^-2t

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