Exercício 1) Discutir a continuidade das seguintes funções: .
Passo 1
O enunciado define
Queremos discutir onde (f] é contínua. O conteúdo usado será a continuidade de soma e quociente de funções e o cálculo de limites em várias variáveis.
Passo 2
Para qualquer ponto (x,y) com xneq0, a função (x,y)mapstosenx é contínua, a função (x,y)mapsto x é contínua e não se anula, logo (x,y)mapstosenxx é contínua onde xneq0. Somando-se a função (x,y)mapsto y, que também é contínua, concluímos que f é contínua em todo ponto com xneq0.
Passo 3
Resta analisar a continuidade em um ponto genérico (0,y0). Precisamos verificar
lim(x,y)to(0,y0)f(x,y) stackrel?=f(0,y0)
Para (x,y) próximo de (0,y0) com xneq0 vale
f(x,y)=senxx+y
Como o limite separa-se em variáveis independentes, temos