Exercício 1) Discutir a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=ccsen xx+y & se x neq 0 1+y & se x=0.

Passo 1

O enunciado define
Queremos discutir onde (f] é contínua. O conteúdo usado será a continuidade de soma e quociente de funções e o cálculo de limites em várias variáveis.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y) com xneq0, a função (x,y)mapstosenx é contínua, a função (x,y)mapsto x é contínua e não se anula, logo (x,y)mapstosenxx é contínua onde xneq0. Somando-se a função (x,y)mapsto y, que também é contínua, concluímos que f é contínua em todo ponto com xneq0.

Passo 3

Resta analisar a continuidade em um ponto genérico (0,y0). Precisamos verificar
lim(x,y)to(0,y0)f(x,y) stackrel?=f(0,y0)
Para (x,y) próximo de (0,y0) com xneq0 vale
f(x,y)=senxx+y
Como o limite separa-se em variáveis independentes, temos
lim(x,y)to(0,y0)senxx+y =limxto0senxx+limyto y0y =1+y0
E o valor definido em x=0 é f(0,y0)=1+y0. Portanto o limite coincide com o valor de f.

Passo 4

Como f é contínua para todo xneq0 e também em cada ponto (0,y0), concluímos que f é contínua em todo R^2.

Resposta

A função f é contínua em todo o plano R^2.

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