Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas e observações imediatas:
portanto
tem polos em
e
. Queremos encontrar a função
(para
) tal que
.
Passo 2
Vamos lembrar e provar uma fórmula útil que nos vai facilitar muito: a transformada de Laplace da função hiperbólica cosseno
. Começamos da definição
. Usando linearidade da transformada de Laplace e a transformada de exponenciais temos:
válido para
. Assim
Agora somamos as frações:
Portanto obtivemos a identidade fundamental
Aqui
é a variável complexa da transformada e
é a constante do argumento de
.
Passo 3
Compare
com a fórmula acima. Tomando
temos
Nossa função é exatamente
vezes essa expressão:
Pela linearidade da transformada inversa de Laplace (constante multiplicativa sai da transformada), a transformada inversa é
Passo 4
(Verificação alternativa por frações parciais — útil para prova)
Fazemos a decomposição
Fazemos a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Escolhendo
dá
. Escolhendo
dá
. Assim
Invertendo cada termo usando
(para
) obtemos
confirmando o resultado do passo anterior.