Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{5 s}{s^{2}-25}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{5s}{s^{2}-25}.
Informações dadas e observações imediatas:
s^{2}-25=(s-5)(s+5),
portanto F(s) tem polos em s=5 e s=-5. Queremos encontrar a função f(t) (para t\ge0) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).

Passo 2

Vamos lembrar e provar uma fórmula útil que nos vai facilitar muito: a transformada de Laplace da função hiperbólica cosseno \operatorname{cosh}(at). Começamos da definição \operatorname{cosh}(at)=\tfrac{e^{at}+e^{-at}}{2}. Usando linearidade da transformada de Laplace e a transformada de exponenciais temos:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},\qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a},
válido para \Re(s)>\lvert a\rvert. Assim
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\right).
Agora somamos as frações:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+a)+(s-a)}{s^{2}-a^{2}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^{2}-a^{2}} =\frac{s}{s^{2}-a^{2}}.
Portanto obtivemos a identidade fundamental
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}},\qquad \Re(s)>\lvert a\rvert.
Aqui s é a variável complexa da transformada e a é a constante do argumento de \operatorname{cosh}.

Passo 3

Compare F(s) com a fórmula acima. Tomando a=5 temos
\frac{s}{s^{2}-5^{2}}=\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(5t)\}.
Nossa função é exatamente 5 vezes essa expressão:
F(s)=\frac{5s}{s^{2}-25}=5\cdot\frac{s}{s^{2}-5^{2}}=5\;\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(5t)\}.
Pela linearidade da transformada inversa de Laplace (constante multiplicativa sai da transformada), a transformada inversa é
f(t)=5\operatorname{cosh}(5t),\qquad t\ge0.

Passo 4

(Verificação alternativa por frações parciais — útil para prova)
Fazemos a decomposição
\frac{5s}{s^{2}-25}=\frac{A}{s-5}+\frac{B}{s+5}.
Multiplicando ambos os lados por (s-5)(s+5) obtém-se
5s=A(s+5)+B(s-5).
Escolhendo s=5 25=A\cdot 10\Rightarrow A=\tfrac{5}{2}. Escolhendo s=-5 -25=B\cdot(-10)\Rightarrow B=\tfrac{5}{2}. Assim
\frac{5s}{s^{2}-25}=\frac{5/2}{s-5}+\frac{5/2}{s+5}.
Invertendo cada termo usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at} (para t\ge0) obtemos
f(t)=\frac{5}{2}e^{5t}+\frac{5}{2}e^{-5t}=\;5\cdot\frac{e^{5t}+e^{-5t}}{2}=5\operatorname{cosh}(5t),
confirmando o resultado do passo anterior.

Resposta

5\operatorname{cosh}(5t)

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