Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{0,1 s+0,9}{s^{2}+3,24}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{0,1\,s+0,9}{s^{2}+3,24}.
Informações relevantes dadas: o numerador é 0,1\,s+0,9 e o denominador é s^{2}+3,24. Note que 3,24=(1,8)^{2}, ou seja o denominador pode ser escrito como s^{2}+(1,8)^{2}.

Passo 2

Antes de resolver: lembre os pares básicos da transformada de Laplace e a linearidade (vou explicar com calma).
  • Linearidade: se F(s)=aG(s)+bH(s) então \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}. Ou seja, podemos inverter termo a termo.
  • Pares padrão que usamos aqui:
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}
Nessas fórmulas t é a variável do tempo (domínio original), s é a variável do domínio de Laplace, e a>0 é uma constante (frequência). Esses pares dizem que frações com s no numerador correspondem a cosseno e frações com a no numerador correspondem a seno.

Passo 3

Usando linearidade, escrevemos F(s) como soma de duas frações:
F(s)=0,1\cdot\frac{s}{s^{2}+1,8^{2}}+0,9\cdot\frac{1}{s^{2}+1,8^{2}}.
Aqui apenas separamos o numerador em dois termos e reconhecemos a=1,8 porque s^{2}+3,24=s^{2}+1,8^{2}.

Passo 4

Transformamos o segundo termo para ficar na forma \text{constante}\cdot\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, que é o formato da transformada do seno. Escrevemos
0,9\cdot\frac{1}{s^{2}+1,8^{2}}=\frac{0,9}{1,8}\cdot\frac{1,8}{s^{2}+1,8^{2}}.
Agora calculamos o coeficiente: \dfrac{0,9}{1,8}=\dfrac{9/10}{18/10}=\dfrac{9}{18}=\dfrac{1}{2}=0,5. Logo
0,9\cdot\frac{1}{s^{2}+1,8^{2}}=0,5\cdot\frac{1,8}{s^{2}+1,8^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando os pares do Passo 2:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+1,8^{2}}\right\}=\cos(1,8t).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1,8}{s^{2}+1,8^{2}}\right\}=\sin(1,8t).
    Portanto
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=0,1\cos(1,8t)+0,5\sin(1,8t).

Passo 6

Checagem rápida (para ficar tranquilo): aplicando a transformada de Laplace em f(t) obtemos
0,1\cdot\frac{s}{s^{2}+1,8^{2}}+0,5\cdot\frac{1,8}{s^{2}+1,8^{2}}=\frac{0,1s+0,9}{s^{2}+1,8^{2}}=\frac{0,1s+0,9}{s^{2}+3,24},
que é exatamente F(s). Está consistente.

Resposta

f(t)=0,1\cos(1,8t)+0,5\sin(1,8t)

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