Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Informações relevantes dadas: o numerador é
e o denominador é
. Note que
, ou seja o denominador pode ser escrito como
.
Passo 2
Antes de resolver: lembre os pares básicos da transformada de Laplace e a linearidade (vou explicar com calma).
- Linearidade: se
então . Ou seja, podemos inverter termo a termo. - Pares padrão que usamos aqui:
Nessas fórmulas
é a variável do tempo (domínio original),
é a variável do domínio de Laplace, e
é uma constante (frequência). Esses pares dizem que frações com
no numerador correspondem a cosseno e frações com
no numerador correspondem a seno.
Passo 3
Usando linearidade, escrevemos
como soma de duas frações:
Aqui apenas separamos o numerador em dois termos e reconhecemos
porque
.
Passo 4
Transformamos o segundo termo para ficar na forma
, que é o formato da transformada do seno. Escrevemos
Agora calculamos o coeficiente:
. Logo
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando os pares do Passo 2:
-
. -
.
Portanto
Passo 6
Checagem rápida (para ficar tranquilo): aplicando a transformada de Laplace em
obtemos
que é exatamente
. Está consistente.