Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=e^{a-b t}

Passo 1

O problema pede para determinar a transformada de Laplace da função \,f(t)=e^{a-b t}\,. Informações dadas: a e b são constantes (podem ser complexas, mas tipicamente reais), a variável independente é t e a transformada deve ser calculada para t\ge 0. Não foram dadas outras restrições, então usaremos a definição padrão da transformada de Laplace.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar cada termo com calma. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. Aqui:
  • t é a variável do tempo (a variável da função original);
  • s é a variável complexa onde a transformada é avaliada;
  • a integral é imprópria porque o limite superior é \infty; por isso precisamos de uma condição de convergência (região de convergência) para que a integral exista.

Passo 3

Substituímos f(t)=e^{a-b t} na definição. Primeiro fatoramos qualquer constante que não dependa de t. Observe que e^{a-bt}=e^{a}\,e^{-b t}, e e^{a} é constante em relação a t. Assim
\mathcal{L}\{e^{a-b t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{a}\,e^{-b t}\,dt = e^{a}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+b)\,t}\,dt.
Aqui eu apenas somei os expoentes que dependem de t: -s t + (-b t)=-(s+b)t.

Passo 4

Agora calculamos a integral
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+b)\,t}\,dt.
Para integrar, usamos a fórmula básica da integral de uma exponencial: se \Re\text{(c)}>0 então
\int_{0}^{\infty} e^{-c t}\,dt=\left[\frac{-1}{c}e^{-c t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{c}.
A justificativa rápida: calcular a primitiva \int e^{-ct}dt = -\frac{1}{c}e^{-ct}, avaliar de 0 a N e fazer N\to\infty. O termo e^{-cN} tende a zero quando \Re\text{(c)}>0.

Passo 5

No nosso caso c=s+b. Aplicando a fórmula da Passo 4, desde que \Re(s+b)>0 (ou seja \Re(s)>-\Re(b)), obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+b)\,t}\,dt=\frac{1}{s+b}.
Multiplicando pelo fator e^{a} que puxamos para fora, temos
\mathcal{L}\{e^{a-b t}\}(s)=e^{a}\cdot\frac{1}{s+b}=\frac{e^{a}}{s+b},
com região de convergência dada por \Re(s)>-\Re(b). Se b for real, a condição simplifica para s> -b quando s também for real.

Passo 6

Um pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: se a=2 e b=3, então f(t)=e^{2-3t}=e^{2}e^{-3t} e a transformada é \mathcal{L}\{f\}(s)=\dfrac{e^{2}}{s+3}, válida para \Re(s)>-3. Isso mostra concretamente como o fator e^{a} sai multiplicando e como o b muda o polo para -b.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a-b t}\}(s)=\frac{e^{a}}{s+b}
\Re(s)>-\Re(b)

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