Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O problema pede para determinar a transformada de Laplace da função
. Informações dadas:
e
são constantes (podem ser complexas, mas tipicamente reais), a variável independente é
e a transformada deve ser calculada para
. Não foram dadas outras restrições, então usaremos a definição padrão da transformada de Laplace.
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar cada termo com calma. A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é uma variável complexa. Aqui:
-
é a variável do tempo (a variável da função original); -
é a variável complexa onde a transformada é avaliada; - a integral é imprópria porque o limite superior é
; por isso precisamos de uma condição de convergência (região de convergência) para que a integral exista.
Passo 3
Substituímos
na definição. Primeiro fatoramos qualquer constante que não dependa de
. Observe que
, e
é constante em relação a
. Assim
Aqui eu apenas somei os expoentes que dependem de
:
.
Passo 4
Agora calculamos a integral
Para integrar, usamos a fórmula básica da integral de uma exponencial: se
então
A justificativa rápida: calcular a primitiva
, avaliar de
a
e fazer
. O termo
tende a zero quando
.
Passo 5
No nosso caso
. Aplicando a fórmula da Passo 4, desde que
(ou seja
), obtemos
Multiplicando pelo fator
que puxamos para fora, temos
com região de convergência dada por
. Se
for real, a condição simplifica para
quando
também for real.
Passo 6
Um pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: se
e
, então
e a transformada é
, válida para
. Isso mostra concretamente como o fator
sai multiplicando e como o
muda o polo para
.