Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
L^-12 s-4s^4+s^3+s^2+s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de:
L^-12s - 4s^4 + s^3 + s^2 + s
Conteúdo envolvido: Transformadas de Laplace, frações parciais e decomposição de funções racionais.
O que vamos precisar: Saber fatorar polinômios, decompor frações em partes mais simples e aplicar as tabelas de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão quebrando o denominador em fatores mais simples. Olha só:
s^4 + s^3 + s^2 + s = s(s^3 + s^2 + s + 1)
Agora, vamos fatorar o polinômio de terceiro grau s^3 + s^2 + s + 1. Percebemos que s = -1 é uma raiz, então podemos fatorar assim:
s^3 + s^2 + s + 1 = (s + 1)(s^2 + 1)
Então, o denominador fica:
s(s + 1)(s^2 + 1)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos escrever:
2s - 4s(s + 1)(s^2 + 1) = As + Bs + 1 + Cs + Ds^2 + 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B, C e D.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum s(s + 1)(s^2 + 1) para eliminar as frações:
2s - 4 = A(s + 1)(s^2 + 1) + B s (s^2 + 1) + (Cs + D)s(s + 1)
Agora, vamos escolher valores de s que simplifiquem a equação para encontrar os coeficientes.

Passo 5

Encontrando A: Vamos escolher s = 0:
2(0) - 4 = A(0 + 1)(0^2 + 1) Rightarrow -4 = A Rightarrow A = -4
Encontrando B: Escolhemos s = -1:
2(-1) - 4 = B(-1)( (-1)^2 + 1) Rightarrow -6 = -2B Rightarrow B = 3

Passo 6

Agora, para encontrar C e D, podemos expandir a equação e comparar os coeficientes de s:
Expandindo o lado direito:
-4(s^3 + s^2 + s + 1) + 3(s^3 + s) + (Cs + D)(s^2 + s)
Comparando os coeficientes, resolvemos e descobrimos que:
C = 1 e D = 3

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, nossa decomposição fica:
2s - 4s(s + 1)(s^2 + 1) = -4s + 3s + 1 + s + 3s^2 + 1
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.

Passo 8

Aplicando a transformada inversa:
  1. L^-1-4s = -4
  2. L^-13s + 1 = 3e^-t
  3. L^-1ss^2 + 1 = cos(t)
  4. L^-13s^2 + 1 = 3sin(t)

Resposta

A transformada inversa de Laplace solicitada é:
-4 + 3e^-t + cos(t) + 3sin(t)

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