Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de:
Conteúdo envolvido: Transformadas de Laplace, frações parciais e decomposição de funções racionais.
O que vamos precisar: Saber fatorar polinômios, decompor frações em partes mais simples e aplicar as tabelas de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão quebrando o denominador em fatores mais simples. Olha só:
Agora, vamos fatorar o polinômio de terceiro grau
. Percebemos que
é uma raiz, então podemos fatorar assim:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação para encontrar os coeficientes.
Passo 5
Encontrando
: Vamos escolher
:
Encontrando
: Escolhemos
:
Passo 6
Agora, para encontrar
e
, podemos expandir a equação e comparar os coeficientes de
:
Expandindo o lado direito:
Comparando os coeficientes, resolvemos e descobrimos que:
Passo 7
Com os coeficientes encontrados, nossa decomposição fica:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
Passo 8
Aplicando a transformada inversa:
Resposta
A transformada inversa de Laplace solicitada é: