5.Transforme a seguinte integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas e resolva a integral
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 d z d y d x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a integral tripla
integral-raiz2^raiz2!integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2!integralx^2+y^2^4-x^2-y^2dz,dy,dx
O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas em integrais triplas, e vamos precisar identificar a projeção no plano xy, escrever os novos limites e usar o jacobiano r.

Passo 2

A projeção da região no plano xy vem dos limites de x e y:
x^2+y^2<=2
Isso é um disco de raio raiz2. Logo podemos tomar
rin[0,raiz2] e thetain[0,2pi].

Passo 3

Os limites para z dependem de r. No texto original temos
zmin=x^2+y^2=r^2, zmax=4-(x^2+y^2)=4-r^2
O jacobiano da mudança é r, ou seja, dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 4

Montamos a integral em coordenadas cilíndricas:
integraltheta=0^2piintegralr=0^raiz2integralz=r^2^4-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em z:
integralz=r^2^4-r^2r,dz = rl[(4-r^2)-r^2r] = r(4-2r^2) = 4r - 2r^3

Passo 6

Agora integramos em r e theta:
integraltheta=0^2pi!l(integral0^raiz2(4r-2r^3),drr)dtheta
Calcule o interno:
integral0^raiz2(4r-2r^3),dr = l[2r^2-tfrac12r^4r]0^raiz2 = 2cdot2 - tfrac12cdot4 = 4-2 = 2
Então a integral fica
integral0^2pi2,dtheta = 2cdot2pi = 4pi

Resposta

4\pi

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