Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
L^-11s^4+5 s^2+4

Passo 1

Enunciado: Determinar a transformada inversa de Laplace de 1/(s^4+5s^2+4). Conteúdo: transformada inversa de Laplace de funções racionais, usaremos fatoração de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador identificando raízes quadráticas:
s^4+5s^2+4=(s^2+1)(s^2+4) .

Passo 3

Montamos a decomposição em frações parciais:
1(s^2+1)(s^2+4)=As^2+1+Bs^2+4 .

Passo 4

Multiplicamos por (s^2+1)(s^2+4) e comparamos coeficientes:
1=A(s^2+4)+B(s^2+1)=(A+B)s^2+(4A+B)
Igualando coeficientes: A+B=0 e 4A+B=1. Resolvendo, obtemos A=tfrac13, B=-tfrac13.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa conhecendo que L^-11/(s^2+a^2)=(1/a)sin(at):
L^-11s^2+1=sin(t), L^-11s^2+4=12sin(2t)
Assim
L^-1F(s)=13sin(t)-13cdot12sin(2t)=13sin(t)-16sin(2t)

Resposta

13sin(t)-16sin(2t)

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