Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
L^-1ss^3+2 s^2+4 s+8

Passo 1

A questão pede a transformada inversa de Laplace de um quociente racional. O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace de uma função algébrica, e vamos precisar usar fatoração de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador s^3+2s^2+4s+8. Testando raiz s=-2, vemos que ele anula o polinômio. Ao dividir por s+2 usando divisão sintética, obtemos:
s^3+2s^2+4s+8 = (s+2)(s^2+4)

Passo 3

Em seguida escrevemos a fração parcial:
s(s+2)(s^2+4) = As+2 + Bs + Cs^2+4
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes de s^2, s e termo constante, encontramos
A = -tfrac14, B = tfrac14, C = tfrac12

Passo 4

Assim
s(s+2)(s^2+4) = -141s+2 + 14ss^2+4 + 121s^2+4
Agora aplicamos a transformada inversa conhecendo que
,
e
.

Passo 5

Logo, juntando tudo, temos:
f(t) = -tfrac14e^-2t + tfrac14cos(2t) + tfrac12cdottfrac12sin(2t) = -tfrac14e^-2t + tfrac14cos(2t) + tfrac14sin(2t)

Resposta

f(t) = tfrac14l(cos(2t) + sin(2t) - e^-2tr).

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