Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
Beleza, então a gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de $ \frac{1}{s^{2} + s - 20} $. Para isso, vamos precisar entender como fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais, que são técnicas básicas em transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador $ s^{2} + s - 20 $. A ideia aqui é encontrar dois números que multiplicados dão -20 e somados dão 1 (que é o coeficiente de $ s $).
Vamos pensar:
- 5 e -4: $ 5 \times (-4) = -20 $ e $ 5 + (-4) = 1 $.
Então, conseguimos fatorar assim:
Passo 3
Agora, podemos reescrever a expressão original usando esses fatores:
A próxima etapa é decompor essa fração em frações parciais, ou seja, escrever como uma soma de termos mais simples.
Passo 4
Vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 5)(s - 4) $ para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação para encontrar $ A $ e $ B $.
-
Primeiro, vamos deixar $ s = 4 $:
-
Segundo, vamos deixar $ s = -5 $:
Passo 6
Agora que temos $ A = -\frac{1}{9} $ e $ B = \frac{1}{9} $, substituímos de volta na decomposição:
Passo 7
Para encontrar a transformada inversa de Laplace, usamos que:
Aplicando isso aos termos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace é: