Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
L^-11s^2+s-20

Passo 1

Beleza, então a gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de $ \frac{1}{s^{2} + s - 20} $. Para isso, vamos precisar entender como fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais, que são técnicas básicas em transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador $ s^{2} + s - 20 $. A ideia aqui é encontrar dois números que multiplicados dão -20 e somados dão 1 (que é o coeficiente de $ s $).
Vamos pensar:
  • 5 e -4: $ 5 \times (-4) = -20 $ e $ 5 + (-4) = 1 $.
Então, conseguimos fatorar assim:
s^2 + s - 20

Passo 3

Agora, podemos reescrever a expressão original usando esses fatores:
1s^2 + s - 20 = 1(s + 5)(s - 4)
A próxima etapa é decompor essa fração em frações parciais, ou seja, escrever como uma soma de termos mais simples.

Passo 4

Vamos supor que:
1(s + 5)(s - 4) = As + 5 + Bs - 4
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 5)(s - 4) $ para eliminar os denominadores:
A

Passo 5

Agora, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação para encontrar $ A $ e $ B $.
  • Primeiro, vamos deixar $ s = 4 $:
    s
    A
    B
  • Segundo, vamos deixar $ s = -5 $:
    s = 4
    1 = A(4 - 4) + B(4 + 5)
    1 = 0 + 9B

Passo 6

Agora que temos $ A = -\frac{1}{9} $ e $ B = \frac{1}{9} $, substituímos de volta na decomposição:
A = -19

Passo 7

Para encontrar a transformada inversa de Laplace, usamos que:
L^-1 1s - a = e^at
Aplicando isso aos termos:
L^-1 -19 cdot 1s + 5 = -19 e^-5t
L^-1 19 cdot 1s - 4 = 19 e^4t

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace é:
19( e^4t - e^-5t )

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