Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
L^-1ss^2+2 s-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função ss^2+2 s-3. Isso faz parte do estudo de transformadas de Laplace, que é uma técnica usada para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar fazer uma fração parcial e usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos s^2 + 2s - 3. Para facilitar o trabalho, vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1. Então, podemos escrever:
s^2 + 2s - 3 = (s + 3)(s - 1)

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão original usando essa fatoração:
ss^2+2 s-3 = s(s + 3)(s - 1)
Para facilitar a inversão da transformada de Laplace, vamos decompor essa fração em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar números A e B tais que:
s(s + 3)(s - 1) = As + 3 + Bs - 1

Passo 4

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (s + 3)(s - 1):
s = A(s - 1) + B(s + 3)
Agora, vamos escolher valores de s que facilitem a resolução. Primeiro, se s = 1:
1 = A(1 - 1) + B(1 + 3) Rightarrow 1 = 0 + 4B Rightarrow B = 14
Em seguida, se s = -3:
-3 = A(-3 - 1) + B(-3 + 3) Rightarrow -3 = -4A + 0 Rightarrow A = 34

Passo 5

Agora que encontramos A e B, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
s(s + 3)(s - 1) = 34s + 3 + 14s - 1

Passo 6

Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-11s + a = e^-a t
Aplicando isso às nossas frações:
L^-134 cdot 1s + 3 = 34 e^-3 t
L^-114 cdot 1s - 1 = 14 e^t

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
34 e^-3 t + 14 e^t

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