Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso faz parte do estudo de transformadas de Laplace, que é uma técnica usada para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar fazer uma fração parcial e usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos
. Para facilitar o trabalho, vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão original usando essa fatoração:
Para facilitar a inversão da transformada de Laplace, vamos decompor essa fração em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar números A e B tais que:
Passo 4
Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Agora, vamos escolher valores de s que facilitem a resolução. Primeiro, se
:
Em seguida, se
:
Passo 5
Agora que encontramos A e B, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 6
Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
Aplicando isso às nossas frações:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: