Resolva a equação diferencial
. Faça um esboço da família das soluções. Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ = x^{3} y^{2} $. Esse tipo de equação é uma equação diferencial separável, o que significa que a gente consegue separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $. Vamos usar essa técnica para encontrar a solução geral e depois aplicar cada condição inicial para achar a solução específica e o intervalo onde ela está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. A equação dada é:
Vamos reorganizar os termos para juntar os $ y $ de um lado e os $ x $ do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de $ \frac{1}{y^{2}} dy $ é $ -\frac{1}{y} $ e a integral de $ x^{3} dx $ é $ \frac{x^{4}}{4} $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para $ y $ isolando-o na equação:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos chamar $ -C $ de uma nova constante, mas para simplificar, deixamos como está. Então, invertendo ambos os lados:
Onde $ K = -C $. Para facilitar, reescrevemos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar cada condição inicial para encontrar a constante $ K $ e a solução específica.
a) $ y(0) = 4 $
Substituímos $ x = 0 $ e $ y = 4 $ na equação:
Então, a solução é:
Intervalo de definição: O denominador não pode ser zero, então $ 1 - x^{4} \neq 0 \Rightarrow x^{4} \neq 1 \Rightarrow x \neq \pm1 $. Além disso, como a constante inicial é em $ x = 0 $, o intervalo máximo é $ (-1, 1) $.
b) $ y(-\sqrt{3}) = -\frac{1}{2} $
Substituímos $ x = -\sqrt{3} $ e $ y = -\frac{1}{2} $:
Então, a solução é:
Intervalo de definição: Assim como no item a), o denominador não pode ser zero: $ x \neq \pm1 $. Como a condição inicial está em $ x = -\sqrt{3} $, que está fora de $ (-1,1) $, precisamos ajustar o intervalo. Na verdade, a solução só está definida para $ x $ tal que $ 1 - x^{4} > 0 $, ou seja, $ |x| <1 $. Porém, como a condição inicial $ x = -\sqrt{3} $ está fora desse intervalo, não existe solução que satisfaça essa condição inicial dentro do intervalo onde a solução é válida.
c) $ y(1) = -1 $
Substituímos $ x = 1 $ e $ y = -1 $:
Então, a solução é:
Intervalo de definição: O denominador $ 3 + x^{4} $ nunca é zero para nenhum $ x $, então a solução está definida para todos os números reais $ x $.
d) $ y(-2) = 0 $
Substituímos $ x = -2 $ e $ y = 0 $:
Isso implica que o denominador infinito, mas isso não é possível matematicamente. Portanto, não existe uma solução que satisfaça $ y(-2) = 0 $ para essa equação diferencial.
Resposta
a) Solução: $ y = \dfrac{4}{1 - x^{4}} $
Intervalo de definição: $ x \in (-1, 1) $
Intervalo de definição: $ x \in (-1, 1) $
b) Solução: Não existe solução que satisfaça a condição inicial $ y(-\sqrt{3}) = -\dfrac{1}{2} $ dentro dos intervalos onde a solução é válida.
c) Solução: $ y = -\dfrac{4}{3 + x^{4}} $
Intervalo de definição: $ x \in \mathbb{R} $ (todos os números reais)
Intervalo de definição: $ x \in \mathbb{R} $ (todos os números reais)
d) Solução: Não existe solução que satisfaça a condição inicial $ y(-2) = 0 $.