Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
L^-1s^2+1s^4-2 s^3-s^2+2 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente precisa encontrar a transformada inversa de:
L^-1s^2+1s^4-2 s^3-s^2+2 s
Isso envolve conhecimentos de álgebra algébrica para fatorar o denominador e depois aplicar propriedades das transformadas de Laplace. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração da função que queremos transformar. Olha só o denominador:
s^4 - 2s^3 - s^2 + 2s
Podemos fatorar esse polinômio. Vamos fatorar um “s” de todos os termos:
s(s^3 - 2s^2 - s + 2)
Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico dentro do parêntese.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes do polinômio cúbico s^3 - 2s^2 - s + 2. Testando possíveis raízes racionais, vemos que s = 1 é uma raiz, porque substituindo:
1^3 - 2(1)^2 - 1 + 2 = 1 - 2 -1 + 2 = 0
Então, podemos fatorar s - 1 desse polinômio:
s^3 - 2s^2 - s + 2 = (s - 1)(s^2 - s - 2)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o quadrático s^2 - s - 2. Encontramos dois números que multiplicam para -2 e somam para -1, que são -2 e +1. Então:
s^2 - s - 2 = (s - 2)(s + 1)
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:
s(s - 1)(s - 2)(s + 1)

Passo 5

Agora que temos a fração fatorada, vamos reescrever a função original:
s^2+1s(s - 1)(s - 2)(s + 1)
Para achar a transformada inversa, vamos usar a decomposição em frações parciais. Ou seja, vamos escrever a fração como soma de frações mais simples:
s^2+1s(s - 1)(s - 2)(s + 1) = As + Bs - 1 + Cs - 2 + Ds + 1

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados por s(s - 1)(s - 2)(s + 1) para eliminar os denominadores:
s^2+1 = A(s - 1)(s - 2)(s + 1) + B s (s - 2)(s + 1) + C s (s - 1)(s + 1) + D s (s - 1)(s - 2)
Agora, vamos resolver para encontrar os valores de A, B, C e D.

Passo 7

Para facilitar, vamos escolher valores específicos de s que zeram alguns fatores:
  • Para s = 0:
0^2 + 1 = A(-1)(-2)(1) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12
  • Para s = 1:
1^2 + 1 = B(1)(-1)(2) Rightarrow 2 = -2B Rightarrow B = -1
  • Para s = 2:
2^2 + 1 = C(2)(1)(3) Rightarrow 5 = 6C Rightarrow C = 56
  • Para s = -1:
(-1)^2 + 1 = D(-1)(-2)(-3) Rightarrow 2 = -6D Rightarrow D = -13

Passo 8

Agora substituímos os valores encontrados na decomposição:
s^2+1s(s - 1)(s - 2)(s + 1) = 1/2s + -1s - 1 + 5/6s - 2 + -1/3s + 1
Simplificando:
12cdot1s - 1s - 1 + 56cdot1s - 2 - 13cdot1s + 1

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-11s - a = e^a t
Então:
L^-112cdot1s = 12
L^-1-1s - 1 = -e^t
L^-156cdot1s - 2 = 56e^2t
L^-1-13cdot1s + 1 = -13e^-t

Resposta

A transformada inversa de Laplace solicitada é:
L^-1s^2+1s^4-2 s^3-s^2+2 s = 12 - e^t + 56e^2t - 13e^-t

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