Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente precisa encontrar a transformada inversa de:
Isso envolve conhecimentos de álgebra algébrica para fatorar o denominador e depois aplicar propriedades das transformadas de Laplace. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração da função que queremos transformar. Olha só o denominador:
Podemos fatorar esse polinômio. Vamos fatorar um “s” de todos os termos:
Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico dentro do parêntese.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes do polinômio cúbico
. Testando possíveis raízes racionais, vemos que
é uma raiz, porque substituindo:
Então, podemos fatorar
desse polinômio:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o quadrático
. Encontramos dois números que multiplicam para -2 e somam para -1, que são -2 e +1. Então:
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 5
Agora que temos a fração fatorada, vamos reescrever a função original:
Para achar a transformada inversa, vamos usar a decomposição em frações parciais. Ou seja, vamos escrever a fração como soma de frações mais simples:
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 7
Para facilitar, vamos escolher valores específicos de
que zeram alguns fatores:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Agora substituímos os valores encontrados na decomposição:
Simplificando:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Então:
Resposta
A transformada inversa de Laplace solicitada é: