Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de transformada inversa de Laplace. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace. Basicamente, a gente quer encontrar a função no tempo $ f(t) $ que, quando transformada pela Laplace, nos dá a expressão
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar algumas fórmulas básicas de transformadas de Laplace e como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a expressão que temos em duas partes para facilitar:
Isso significa que vamos encontrar a transformada inversa de cada uma dessas frações individualmente e depois juntar os resultados.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
. Sabemos que a transformada de Laplace de $ t^{n} $ é
. Aqui, queremos a transformada inversa, então vamos reorganizar essa fórmula para encontrar $ t^{n} $:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
. Usando a mesma fórmula da Transformada de Laplace inversa:
Aplicando a fórmula:
Então:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: