Encontre a solução geral dos seguintes problemas de valor inicial:
b) ld yd x=x^21+y^2 y(2)=1

Passo 1

Temos o PVI dado por dydx=x^21+y^2 com y(2)=1. Este é um caso de equação diferencial separável, então vamos separar as variáveis y e x e depois integrar.

Passo 2

Para separar variáveis, multiplicamos ambos os lados por (1+y^2),dx:
(1+y^2),dy = x^2,dx
Agora integramos cada lado em relação à sua variável:
integral(1+y^2),dy = integral x^2,dx

Passo 3

As antiderivadas são dadas por
integral(1+y^2),dy = y + y^33
integral x^2,dx = x^33
Portanto, obtemos a solução geral implícita
y + y^33 = x^33 + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(2)=1. Substituindo x=2 e y=1 na equação geral temos:
1 + 1^33 = 2^33 + C
Como 1 + tfrac13 = tfrac43 e tfrac2^33=tfrac83, segue que
43 = 83 + C Longrightarrow C = -43

Passo 5

Com C encontrado, escrevemos a solução particular:
y + y^33 = x^33 - 43
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar, obtemos a forma mais compacta
y^3 + 3y = x^3 - 4

Resposta

A solução geral do PVI é dada implicitamente por
y^3 + 3y = x^3 - 4

Exercícios relacionados