Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{4}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de \dfrac{1}{S^{4}}.
Dados importantes fornecidos:
  • A função no domínio de Laplace é \dfrac{1}{S^{4}}.
  • Queremos encontrar a função no domínio do tempo, isto é, f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\} = \dfrac{1}{S^{4}}.
  • As variáveis envolvidas são S (variável complexa do domínio de Laplace) e t (variável do tempo, t\ge 0).

Passo 2

Apresento uma fórmula padrão que vamos usar e explico de onde vem: para inteiro n\ge 0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-St}t^{n}\,dt.
Fazendo a substituição u=St (logo t=u/S e dt=du/S), obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-St}t^{n}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-u}\left(\frac{u}{S}\right)^{n}\frac{du}{S}=\frac{1}{S^{n+1}}\int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{n}\,du.
A integral \int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{n}\,du é a função Gama avaliada em n+1, isto é \Gamma(n+1), e para inteiro n vale \Gamma(n+1)=n!. Portanto
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{S^{n+1}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • t é a variável do tempo (o que procuramos como resultado da transformada inversa);
  • S é a variável do domínio de Laplace;
  • n! é o fatorial de n;
  • \Gamma é a função Gama (generalização do fatorial), usada na derivação.

Passo 3

Agora relacionamos a fórmula com o nosso problema. Queremos uma função cuja transformada seja \dfrac{1}{S^{4}}. Pela fórmula, para n inteiro vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{S^{n+1}}.
Comparando os expoentes de S no denominador, queremos n+1=4. Assim
n=3.

Passo 4

Para n=3 a fórmula dá
\mathcal{L}\{t^{3}\}=\frac{3!}{S^{4}}=\frac{6}{S^{4}}.
Queremos \dfrac{1}{S^{4}}, que é \dfrac{1}{6} vezes isso. Logo a transformada inversa é
f(t)=\frac{1}{6}\,t^{3}=\frac{t^{3}}{6}.

Passo 5

Verificação rápida (checar fazendo a transformada direta):
\mathcal{L}\left\{\frac{t^{3}}{6}\right\}=\frac{1}{6}\cdot\frac{3!}{S^{4}}=\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{S^{4}}=\frac{1}{S^{4}},
portanto está consistente.

Passo 6

Dica prática para a prova: ao ver \dfrac{1}{S^{k}} com inteiro k\ge 1, imediatamente lembre que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{k}}\right\}=\frac{t^{\,k-1}}{(k-1)!}.
Exemplos rápidos: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{S^{2}}\}=t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{S^{3}}\}=\tfrac{t^{2}}{2}. Força aí — você já domina o padrão!

Resposta

\displaystyle \frac{t^{3}}{6}

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