Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
.
Dados importantes fornecidos:
Dados importantes fornecidos:
- A função no domínio de Laplace é
. - Queremos encontrar a função no domínio do tempo, isto é,
tal que . - As variáveis envolvidas são
(variável complexa do domínio de Laplace) e (variável do tempo, ).
Passo 2
Apresento uma fórmula padrão que vamos usar e explico de onde vem: para inteiro
,
Fazendo a substituição
(logo
e
), obtemos
A integral
é a função Gama avaliada em
, isto é
, e para inteiro
vale
. Portanto
Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável do tempo (o que procuramos como resultado da transformada inversa); -
é a variável do domínio de Laplace; -
é o fatorial de ; -
é a função Gama (generalização do fatorial), usada na derivação.
Passo 3
Agora relacionamos a fórmula com o nosso problema. Queremos uma função cuja transformada seja
. Pela fórmula, para
inteiro vale
Comparando os expoentes de
no denominador, queremos
. Assim
Passo 4
Para
a fórmula dá
Queremos
, que é
vezes isso. Logo a transformada inversa é
Passo 5
Verificação rápida (checar fazendo a transformada direta):
portanto está consistente.
Passo 6
Dica prática para a prova: ao ver
com inteiro
, imediatamente lembre que
Exemplos rápidos:
e
. Força aí — você já domina o padrão!