Usando uma identidade trigonométrica adequada determine
para as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine
. Informações relevantes que eu tenho do enunciado:
- A função a transformar é
. (Vou usar no lugar de nas fórmulas.) - O número
é uma constante (assumo que está em radianos, que é o padrão em transformadas de Laplace). - A pergunta é: encontrar
, isto é, a transformada de Laplace dessa função.
Nada mais foi fornecido; começo a resolução nos passos seguintes.
Passo 2
Usamos uma identidade trigonométrica para separar a fase constante. A identidade é
Aplicando com
e
obtemos
Aqui
e
são constantes (números), então a função foi escrita como soma de duas funções mais simples multiplicadas por constantes.
Passo 3
Agora uso a linearidade da transformada de Laplace: para constantes
e funções
,
Aplicando a linearidade em
, obtenho
Portanto preciso das transformadas
e
com
.
Passo 4
Vou deduzir as fórmulas padrão para
e
a partir da definição da transformada de Laplace, para você ver de onde elas vêm. A definição é
onde
é a variável complexa da transformada; para funções trigonométricas reais nós precisamos normalmente de
para convergência. Defino
com
real. Vou relacionar
e
por integrações por partes.
Passo 5
Calculo
por integração por partes. Seja
e
. Então
e
. Assim
Para
temos
e em
a primeira expressão é zero, então o termo de fronteira some. Logo
Passo 6
Agora calculo
por integração por partes. Seja
e
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira avaliado dá
. Portanto
Repare que o sinal é positivo aqui porque
e já aparece o sinal apropriado ao montar a fórmula.
Passo 7
Agora tenho o sistema linear em
:
Substituo
da segunda na primeira:
Isolando
:
Multiplicando por
e resolvendo,
Da relação
obtemos
Portanto, as fórmulas padrão são
válidas para
.
Passo 8
Volto ao caso concreto com
. Usando as fórmulas do passo anterior:
Substituo na expressão obtida no passo 3:
Passo 9
Faço uma simplificação algébrica unindo as frações (mesmo denominador):
A região de convergência é
(no caso real,
).