Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{3}}\right\}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a transformada inversa de Laplace de \dfrac{1}{S^{3}}.
Informações dadas: a função no domínio de Laplace é \displaystyle F(S)=\frac{1}{S^{3}}.
Objetivo final: encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(S)=\dfrac{1}{S^{3}}.
Observação importante (para garantir convergência nas integrais que vamos usar): assumiremos \;S>0\; e t\ge 0.

Passo 2

Lembrete da definição (rápido e direto): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(S)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-S t}\,dt,
onde S é a variável complexa (aqui vamos tratar S como real positivo para convergência). Para achar a inversa, uma estratégia prática é reconhecer uma forma conhecida de transformada. Uma identidade útil (que vamos demonstrar para o caso necessário) é que a transformada de t^{2} é uma potência de S no denominador. Vou calcular isso passo a passo.

Passo 3

Cálculo direto de \mathcal{L}\{t^{2}\}(S) por integração por partes. Defina
I=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-S t}\,dt.
Fazemos integração por partes com u=t^{2} e dv=e^{-S t}dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{e^{-S t}}{S}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos
I=\left[-\frac{t^{2}e^{-S t}}{S}\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{2t\,e^{-S t}}{S}\,dt.
O termo de fronteira é zero porque, para S>0, t^{2}e^{-S t}\to 0 quando t\to\infty, e no zero dá zero. Logo
I=\frac{2}{S}\int_{0}^{\infty} t\,e^{-S t}\,dt.

Passo 4

Agora calculamos J=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-S t}\,dt por integração por partes novamente. Tome u=t e dv=e^{-S t}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{e^{-S t}}{S}. Assim
J=\left[-\frac{t e^{-S t}}{S}\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-S t}}{S}\,dt.
O termo de fronteira é zero (mesma razão que antes). A integral restante é
\int_{0}^{\infty} e^{-S t}\,dt=\left[-\frac{e^{-S t}}{S}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{S}.
Portanto
J=\frac{1}{S}\cdot\frac{1}{S}=\frac{1}{S^{2}}.

Passo 5

Voltando a I, temos
I=\frac{2}{S}\cdot J=\frac{2}{S}\cdot\frac{1}{S^{2}}=\frac{2}{S^{3}}.
Conclusão: \displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}\}(S)=\frac{2}{S^{3}}. Usando linearidade da transformada (multiplicar por constante passa para o outro lado), se dividirmos t^{2} por 2 obtemos exatamente \dfrac{1}{S^{3}}:
\mathcal{L}\left\{\frac{t^{2}}{2}\right\}(S)=\frac{1}{S^{3}}.

Passo 6

Comentário pedagógico curto (para você levar para a prova): existe a fórmula geral
\mathcal{L}\{t^{n}\}(S)=\frac{n!}{S^{n+1}}\quad\text{para inteiro }n\ge 0,
então \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{S^{n+1}}\}=\dfrac{t^{n}}{n!}. No nosso caso n=2, o que confirma o resultado acima.

Resposta

\dfrac{t^{2}}{2}

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