Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O que o problema pede: determinar a transformada inversa de Laplace de
.
Informações dadas: a função no domínio de Laplace é .
Objetivo final: encontrar tal que
.
Observação importante (para garantir convergência nas integrais que vamos usar): assumiremos e
.
Informações dadas: a função no domínio de Laplace é
Objetivo final: encontrar
Observação importante (para garantir convergência nas integrais que vamos usar): assumiremos
Passo 2
Lembrete da definição (rápido e direto): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa (aqui vamos tratar
como real positivo para convergência). Para achar a inversa, uma estratégia prática é reconhecer uma forma conhecida de transformada. Uma identidade útil (que vamos demonstrar para o caso necessário) é que a transformada de
é uma potência de
no denominador. Vou calcular isso passo a passo.
Passo 3
Cálculo direto de
por integração por partes. Defina
Fazemos integração por partes com
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
obtemos
O termo de fronteira é zero porque, para
,
quando
, e no zero dá zero. Logo
Passo 4
Agora calculamos
por integração por partes novamente. Tome
e
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira é zero (mesma razão que antes). A integral restante é
Portanto
Passo 5
Voltando a
, temos
Conclusão:
. Usando linearidade da transformada (multiplicar por constante passa para o outro lado), se dividirmos
por
obtemos exatamente
:
Passo 6
Comentário pedagógico curto (para você levar para a prova): existe a fórmula geral
então
. No nosso caso
, o que confirma o resultado acima.