Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{(S+1)^{3}}{S^{4}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional dada. Informações fornecidas:
\text{Dado: }\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{(S+1)^{3}}{S^{4}}\right\}.
Pergunta clara: encontrar a função no domínio do tempo f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{(S+1)^{3}}{S^{4}}.

Passo 2

Vamos escolher um caminho simples: transformar a expressão em uma soma de potências de S do tipo 1/S^{k}, porque sabemos fórmulas diretas para a transformada inversa desses termos. Antes de aplicar isso, preciso te dar a ferramenta básica que vamos usar:
A fórmula essencial é
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{S^{n+1}},
onde:
  • t é a variável do domínio do tempo (tempo, geralmente t\ge0);
  • n é um inteiro não negativo ( n=0,1,2,\dots);
  • n! é o fatorial de n ( 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, …);
  • S é a variável complexa do domínio de Laplace.
Dessa fórmula segue imediatamente a inversa para potências de S:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S^{k}}\right\}=\frac{t^{k-1}}{(k-1)!},
para k=1,2,3,\dots. Vou usar isso termo a termo após escrever a função como soma de 1/S^{k}.

Passo 3

Expandimos o numerador usando o binômio de Newton:
(S+1)^{3}=S^{3}+3S^{2}+3S+1.
Dividindo por S^{4} obtemos a soma de potências:
\frac{(S+1)^{3}}{S^{4}}=\frac{S^{3}}{S^{4}}+\frac{3S^{2}}{S^{4}}+\frac{3S}{S^{4}}+\frac{1}{S^{4}} =\frac{1}{S}+\frac{3}{S^{2}}+\frac{3}{S^{3}}+\frac{1}{S^{4}}.

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a regra
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S^{k}}\right\}=\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}.
  • Para o termo \displaystyle \frac{1}{S}: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S}\right\}=1 (porque é t^{0}/0!=1).
  • Para o termo \displaystyle \frac{3}{S^{2}}: primeiro \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S^{2}}\right\}=t, logo \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{S^{2}}\right\}=3t.
  • Para o termo \displaystyle \frac{3}{S^{3}}: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2!}=\frac{t^{2}}{2}, logo \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{S^{3}}\right\}=\frac{3t^{2}}{2}.
  • Para o termo \displaystyle \frac{1}{S^{4}}: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S^{4}}\right\}=\frac{t^{3}}{3!}=\frac{t^{3}}{6}.

Passo 5

Somando todas as contribuições do passo anterior obtemos a função no tempo:
f(t)=1+3t+\frac{3t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{6},\qquad t\ge0.

Resposta

1+3t+\frac{3t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{6}

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