Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional dada. Informações fornecidas:
Pergunta clara: encontrar a função no domínio do tempo
tal que
Passo 2
Vamos escolher um caminho simples: transformar a expressão em uma soma de potências de
do tipo
, porque sabemos fórmulas diretas para a transformada inversa desses termos. Antes de aplicar isso, preciso te dar a ferramenta básica que vamos usar:
A fórmula essencial é
onde:
-
é a variável do domínio do tempo (tempo, geralmente ); -
é um inteiro não negativo ( ); -
é o fatorial de ( , , , , …); -
é a variável complexa do domínio de Laplace.
Dessa fórmula segue imediatamente a inversa para potências de
:
para
. Vou usar isso termo a termo após escrever a função como soma de
.
Passo 3
Expandimos o numerador usando o binômio de Newton:
Dividindo por
obtemos a soma de potências:
Passo 4
Aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a regra
.
- Para o termo
: (porque é ). - Para o termo
: primeiro , logo . - Para o termo
: , logo . - Para o termo
: .
Passo 5
Somando todas as contribuições do passo anterior obtemos a função no tempo: