Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}}-\frac{1}{S}+\frac{1}{S-2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional em S:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}}-\frac{1}{S}+\frac{1}{S-2}\right\}.
Informações dadas: a expressão no domínio de Laplace é \displaystyle \frac{1}{S^{2}}-\frac{1}{S}+\frac{1}{S-2}. A variável da transformada é S e queremos obter a função tempo f(t) (com t\ge 0) tal que \mathcal{L}\{f(t)\} seja a expressão acima.

Passo 2

Vou relembrar a definição básica da transformada de Laplace e uma propriedade que vamos usar muito: linearidade.
A definição de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(S)=\int_{0}^{\infty} e^{-St}\,f(t)\,dt,
onde S é a variável complexa (a integral converge para valores de S adequados). A transformada inversa \mathcal{L}^{-1} é o operador que recupera f(t) a partir de sua imagem em S.
Propriedade útil (linearidade):
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\},
logo também vale
\mathcal{L}^{-1}\{A(S)+B(S)\}=\mathcal{L}^{-1}\{A(S)\}+\mathcal{L}^{-1}\{B(S)\}.
Isso nos permite inverter termo a termo.

Passo 3

Vamos obter (ou relembrar) as transformadas diretas padrão cujas inversas precisamos:
  1. Transformada de \,1:
\mathcal{L}\{1\}(S)=\int_{0}^{\infty} e^{-St}\,dt.
Calculando a integral (assumindo \Re(S)>0):
\int_{0}^{\infty} e^{-St}\,dt = \left[-\frac{1}{S}e^{-St}\right]_{0}^{\infty} = 0 -\left(-\frac{1}{S}\right)=\frac{1}{S}.
Portanto
\mathcal{L}\{1\}(S)=\frac{1}{S},
e assim
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S}\right\}=1.
  1. Transformada de t:
    Usamos integração por partes para
\mathcal{L}\{t\}(S)=\int_{0}^{\infty} e^{-St}\,t\,dt.
Seja u=t e dv=e^{-St}dt. Então du=dt e v=-\frac{1}{S}e^{-St}. Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-St}\,dt = \left. -\frac{t}{S}e^{-St}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{S}\int_{0}^{\infty} e^{-St}\,dt.
O termo de fronteira é zero (para \Re(S)>0), e a última integral vale \frac{1}{S} (já calculada), logo
\int_{0}^{\infty} t e^{-St}\,dt = \frac{1}{S}\cdot\frac{1}{S}=\frac{1}{S^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\}(S)=\frac{1}{S^{2}},
e
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}}\right\}=t.
  1. Transformada de e^{at}:
\mathcal{L}\{e^{at}\}(S)=\int_{0}^{\infty} e^{-St} e^{at}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(S-a)t}\,dt.
Para \Re(S)>\Re(a) essa integral é
\int_{0}^{\infty} e^{-(S-a)t}\,dt = \frac{1}{S-a}.
Logo
\mathcal{L}\{e^{at}\}(S)=\frac{1}{S-a},
e assim
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S-a}\right\}=e^{at}.

Passo 4

Agora aplicamos linearidade e invertimos cada termo da expressão dada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}}-\frac{1}{S}+\frac{1}{S-2}\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S}\right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S-2}\right\}.

Passo 5

Usando os pares que acabamos de obter:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}}\right\}=t,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S}\right\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S-2}\right\}=e^{2t}.
Somando com os sinais apropriados:
f(t)=t - 1 + e^{2t},\qquad t\ge 0.

Resposta

\;t-1+e^{2t}

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