Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{S}+\frac{6}{S^{2}}-\frac{1}{S+8}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
\frac{4}{S}+\frac{6}{S^{2}}-\frac{1}{S+8}.
Informações dadas (lista das partes que aparecem na expressão):
\frac{4}{S},\qquad \frac{6}{S^{2}},\qquad -\frac{1}{S+8}.
A pergunta é: qual é a função do tempo t cuja transformada de Laplace é essa soma acima? Não vamos resolver ainda; apenas identifiquei o que foi pedido e os termos fornecidos.

Passo 2

Conceito essencial que vamos usar: a transformada inversa de Laplace é linear. Ou seja, se soubermos as inversas de termos simples, a inversa da soma é a soma das inversas, e constantes saem multiplicando. Formalmente:
\mathcal{L}^{-1}\{aF(S)+bG(S)\} = a\,\mathcal{L}^{-1}\{F(S)\} + b\,\mathcal{L}^{-1}\{G(S)\},
onde a e b são constantes e F(S),G(S) são funções de S. Vou usar isso para tratar cada parcela separadamente.

Passo 3

Precisamos das transformadas diretas conhecidas (ou, equivalentemente, das correspondentes inversas):
  1. A transformada de Laplace de uma constante 1 é
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{S}.
Isto significa que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S}\right\}=1.
Aqui S é a variável complexa do domínio da transformada (o enunciado usa maiúsculo).
  1. A transformada de Laplace da função t é
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{S^{2}}.
Logo
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}}\right\}=t.
  1. A transformada de Laplace da exponencial \mathrm{e}^{-a t} é
\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-a t}\}=\frac{1}{S+a}.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S+a}\right\}=\mathrm{e}^{-a t}.
No nosso caso aparecerá a=8, então a inversa de \dfrac{1}{S+8} é \mathrm{e}^{-8t}.
Dica rápida extra (útil em provas): a fórmula geral para potências de t é
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{S^{n+1}},
então para n=1 temos \mathcal{L}\{t\}=1/S^{2} (coerente com o item 2).

Passo 4

Agora aplicamos linearidade e separamos termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{S}+\frac{6}{S^{2}}-\frac{1}{S+8}\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{S}\right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{6}{S^{2}}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S+8}\right\}.
Como constantes saem da transformada inversa, isto é igual a
4\;\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S}\right\} +6\;\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}}\right\} -1\;\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S+8}\right\}.

Passo 5

Aplicando as correspondências que listamos no Passo 3:
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{S}\right\}=1, então 4\cdot 1 = 4.
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{S^{2}}\right\}=t, então 6\cdot t = 6t.
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{S+8}\right\}=\mathrm{e}^{-8t}, então -1\cdot \mathrm{e}^{-8t} = -\mathrm{e}^{-8t}.
Somando essas partes obtemos a função temporal:
4 + 6t - \mathrm{e}^{-8t}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas boa prática): calcular a transformada direta desta função deve devolver a expressão original. Vamos checar mentalmente:
\mathcal{L}\{4\}=\frac{4}{S},\quad \mathcal{L}\{6t\}=\frac{6}{S^{2}},\quad \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-8t}\}=\frac{1}{S+8},
portanto
\mathcal{L}\{4+6t-\mathrm{e}^{-8t}\}=\frac{4}{S}+\frac{6}{S^{2}}-\frac{1}{S+8},
o que confirma que a inversa encontrada está correta.

Resposta

\;4+6t-\mathrm{e}^{-8t}

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