Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas (lista das partes que aparecem na expressão):
A pergunta é: qual é a função do tempo
cuja transformada de Laplace é essa soma acima? Não vamos resolver ainda; apenas identifiquei o que foi pedido e os termos fornecidos.
Passo 2
Conceito essencial que vamos usar: a transformada inversa de Laplace é linear. Ou seja, se soubermos as inversas de termos simples, a inversa da soma é a soma das inversas, e constantes saem multiplicando. Formalmente:
onde
e
são constantes e
são funções de
. Vou usar isso para tratar cada parcela separadamente.
Passo 3
Precisamos das transformadas diretas conhecidas (ou, equivalentemente, das correspondentes inversas):
- A transformada de Laplace de uma constante
é
Isto significa que
Aqui
é a variável complexa do domínio da transformada (o enunciado usa maiúsculo).
- A transformada de Laplace da função
é
Logo
- A transformada de Laplace da exponencial
é
Portanto
No nosso caso aparecerá
, então a inversa de
é
.
Dica rápida extra (útil em provas): a fórmula geral para potências de
é
então para
temos
(coerente com o item 2).
Passo 4
Agora aplicamos linearidade e separamos termo a termo:
Como constantes saem da transformada inversa, isto é igual a
Passo 5
Aplicando as correspondências que listamos no Passo 3:
-
, então . -
, então . -
, então .
Somando essas partes obtemos a função temporal:
Passo 6
Verificação rápida (opcional mas boa prática): calcular a transformada direta desta função deve devolver a expressão original. Vamos checar mentalmente:
portanto
o que confirma que a inversa encontrada está correta.