Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas: a expressão do domínio de Laplace é
. A tarefa é encontrar uma função de tempo
tal que
Nada mais foi pedido explicitamente.
Passo 2
Lembra da definição básica da transformada de Laplace? Vou repassar porque isso ajuda a entender de onde vêm as fórmulas que vamos usar. A transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa e a integral deve convergir (isso impõe uma condição de região de convergência em
).
Um par fundamental que usamos muito é o seguinte: para a função exponencial
(com
constante),
Essa integral é uma integral de exponencial simples; se
ela converge e dá
Portanto o par é
Isso nos dá imediatamente a regra inversa: se tivermos
em
-domínio, a transformada inversa é
.
Passo 3
Agora adaptamos a expressão dada para caber no formato
. Começamos manipulando algebricamente:
Isso foi obtido ao dividir numerador e denominador por
. Observe que
ou seja, no formato
temos
.
Passo 4
Usando a regra inversa do passo 2: a transformada inversa de
é
. Portanto
Como existia o fator multiplicativo
fora, pela linearidade da transformada de Laplace o resultado final é
Passo 5
Verificação rápida (boa prática): calculemos a transformada direta da candidata
:
que bate com a função dada. A região de convergência é
.