Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4 s+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
\frac{1}{4s+1}.
Informações dadas: a expressão do domínio de Laplace é \dfrac{1}{4s+1}. A tarefa é encontrar uma função de tempo f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{4s+1}.
Nada mais foi pedido explicitamente.

Passo 2

Lembra da definição básica da transformada de Laplace? Vou repassar porque isso ajuda a entender de onde vêm as fórmulas que vamos usar. A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral deve convergir (isso impõe uma condição de região de convergência em s).
Um par fundamental que usamos muito é o seguinte: para a função exponencial e^{at} (com a constante),
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{at}\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Essa integral é uma integral de exponencial simples; se \operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}(a) ela converge e dá
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-a}.
Portanto o par é
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \text{(válido para \(\operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)\)).}á
Isso nos dá imediatamente a regra inversa: se tivermos \dfrac{1}{s-a} em s-domínio, a transformada inversa é e^{at}.

Passo 3

Agora adaptamos a expressão dada para caber no formato \dfrac{1}{s-a}. Começamos manipulando algebricamente:
\frac{1}{4s+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}.
Isso foi obtido ao dividir numerador e denominador por 4. Observe que
\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{s-(-\tfrac{1}{4})},
ou seja, no formato \dfrac{1}{s-a} temos a=-\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Usando a regra inversa do passo 2: a transformada inversa de \dfrac{1}{s-a} é e^{at}. Portanto
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}\right\}=e^{-\tfrac{1}{4}t}.
Como existia o fator multiplicativo \dfrac{1}{4} fora, pela linearidade da transformada de Laplace o resultado final é
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4s+1}\right\}=\frac{1}{4}\,e^{-\tfrac{1}{4}t}.

Passo 5

Verificação rápida (boa prática): calculemos a transformada direta da candidata f(t)=\dfrac{1}{4}e^{-t/4}:
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{4}e^{-\tfrac{1}{4}t}\right\}(s)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{4s+1},
que bate com a função dada. A região de convergência é \operatorname{Re}(s)>-\tfrac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}e^{-t/4}

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