Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas:
- A variável do domínio de Laplace é
. - Queremos encontrar a função do tempo
cuja transformada de Laplace é . - Assume-se a transformada unilateral padrão (função definida para
).
Passo 2
Lembrete fundamental (vamos provar rapidinho para fixar): a transformada de Laplace da exponencial
é
para
.
Prova curta: aplicar a definição da transformada de Laplace
Essa integral é uma integral exponencial simples. Para
temos
Pronto — isso explica por que a forma
corresponde a
.
Passo 3
Agora manipulação algébrica do que nos deram para colocar na forma
.
Começamos com
Fatorando
no denominador:
Portanto
Passo 4
Usamos duas propriedades importantes da transformada inversa:
- linearidade:
para constante ; - a correspondência já mostrada:
.
Aplicando ao nosso caso com
e
, obtemos
válido para
(e com região de convergência
).
Passo 5
Dica prática para prova (meu conselho de amigo): ao ver algo do tipo
cheque se dá para fatorar
e escrever
. Aí você lembra que isso vira uma exponencial
ou
dependendo do sinal. Isso salva tempo e evita erros bobos com sinais.