Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5 S-2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
\frac{1}{5 S - 2}.
Informações dadas:
  • A variável do domínio de Laplace é S.
  • Queremos encontrar a função do tempo t cuja transformada de Laplace é \dfrac{1}{5 S - 2}.
  • Assume-se a transformada unilateral padrão (função definida para t\ge 0).

Passo 2

Lembrete fundamental (vamos provar rapidinho para fixar): a transformada de Laplace da exponencial \;e^{a t}\; é
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(S)=\frac{1}{S-a},
para \operatorname{Re}(S)>\operatorname{Re}(a).
Prova curta: aplicar a definição da transformada de Laplace
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(S)=\int_{0}^{\infty} e^{-S t}\,e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(S-a)t}\,dt.
Essa integral é uma integral exponencial simples. Para \operatorname{Re}(S-a)>0 temos
\int_{0}^{\infty} e^{-(S-a)t}\,dt=\left[-\frac{1}{S-a}e^{-(S-a)t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{S-a}.
Pronto — isso explica por que a forma 1/(S-a) corresponde a e^{a t}.

Passo 3

Agora manipulação algébrica do que nos deram para colocar na forma \dfrac{1}{S-a}.
Começamos com
\frac{1}{5 S - 2}.
Fatorando 5 no denominador:
5 S - 2 = 5\left(S - \frac{2}{5}\right).
Portanto
\frac{1}{5 S - 2}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{S-\frac{2}{5}}.

Passo 4

Usamos duas propriedades importantes da transformada inversa:
  1. linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{c\cdot F(S)\}=c\cdot \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\} para constante c;
  2. a correspondência já mostrada: \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{S-a}\right\}=e^{a t}.
Aplicando ao nosso caso com a=\dfrac{2}{5} e c=\dfrac{1}{5}, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5 S - 2}\right\}=\frac{1}{5}\,e^{\frac{2}{5}t},
válido para t\ge 0 (e com região de convergência \operatorname{Re}(S)> \tfrac{2}{5}).

Passo 5

Dica prática para prova (meu conselho de amigo): ao ver algo do tipo \dfrac{1}{aS+b} cheque se dá para fatorar a e escrever \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{S+ b/a}. Aí você lembra que isso vira uma exponencial \exp(-b/a\, t) ou \exp(+b/a\, t) dependendo do sinal. Isso salva tempo e evita erros bobos com sinais.

Resposta

\dfrac{1}{5}e^{\frac{2}{5}t}

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