Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
.\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
O que se pede:
ou seja, encontrar a função no tempo
cuja transformada de Laplace é a fração acima. Assumimos a convenção usual de sinais e
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática e por que usar): a fração racional tem um polinômio no numerador e um no denominador que pode ser fatorado em fatores lineares reais. Nesses casos é muito prático usar decomposição em frações parciais para separar a expressão em termos conhecidos cuja transformada inversa é direta. Além disso, usaremos a propriedade de linearidade da transformada inversa:
onde
são constantes. Exemplos de pares transformada/inversa que vamos usar:
Esses pares justificam porque frações do tipo
e
são fáceis de inverter.
Passo 3
Fatoramos o denominador para ver os fatores lineares:
Como são fatores lineares distintos (
e
), podemos escrever a decomposição em frações parciais da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Encontre
e
multiplicando ambos os lados por
:
Expanda o lado direito:
Agora iguale coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante):
Da segunda equação obtemos
Substituindo na primeira:
Passo 5
Substituindo
e
na decomposição obtemos:
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando a linearidade e os pares conhecidos:
Somando os dois resultados (pela linearidade):
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): calcule a transformada de Laplace de
para conferir que volta à expressão dada.
confirmando que
é a inversa correta (válida para
com região de convergência apropriada).