Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S+1}{S^{2}-4 S}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de \dfrac{S+1}{S^{2}-4 S}.\n
Dados fornecidos:
\text{Função no domínio de }S:\quad \frac{S+1}{S^{2}-4 S}.çãí
O que se pede:
\text{Achar }f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S+1}{S^{2}-4 S}\right\},
ou seja, encontrar a função no tempo t cuja transformada de Laplace é a fração acima. Assumimos a convenção usual de sinais e t\ge 0.

Passo 2

Estratégia (explicação didática e por que usar): a fração racional tem um polinômio no numerador e um no denominador que pode ser fatorado em fatores lineares reais. Nesses casos é muito prático usar decomposição em frações parciais para separar a expressão em termos conhecidos cuja transformada inversa é direta. Além disso, usaremos a propriedade de linearidade da transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\{aF(S)+bG(S)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{G(S)\},
onde a,b são constantes. Exemplos de pares transformada/inversa que vamos usar:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{S}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S}\right\}=1,
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{S-a}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S-a}\right\}=e^{at}.
Esses pares justificam porque frações do tipo 1/S e 1/(S-a) são fáceis de inverter.

Passo 3

Fatoramos o denominador para ver os fatores lineares:
S^{2}-4S = S(S-4).
Como são fatores lineares distintos ( S e S-4), podemos escrever a decomposição em frações parciais da forma
\frac{S+1}{S(S-4)} = \frac{A}{S} + \frac{B}{S-4},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Encontre A e B multiplicando ambos os lados por S(S-4):
S+1 = A(S-4) + B S.
Expanda o lado direito:
S+1 = (A+B)S - 4A.
Agora iguale coeficientes do polinômio (coeficiente de S e termo constante):
\begin{cases} A + B = 1 &\text{(coeficiente de }S)\\[4pt] -4A = 1 &\text{(termo constante)} \end{cases}
Da segunda equação obtemos
A = -\frac{1}{4}.
Substituindo na primeira:
-\frac{1}{4} + B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}.]

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição obtemos:
\frac{S+1}{S(S-4)} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{S} + \frac{5}{4}\cdot\frac{1}{S-4}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando a linearidade e os pares conhecidos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{S}\right\} = -\frac{1}{4}\cdot 1 = -\frac{1}{4},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{S-4}\right\} = \frac{5}{4}\cdot e^{4t}.
Somando os dois resultados (pela linearidade):
f(t)= -\frac{1}{4} + \frac{5}{4}e^{4t}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): calcule a transformada de Laplace de f(t) para conferir que volta à expressão dada.
\mathcal{L}\{f(t)\} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{S} + \frac{5}{4}\cdot\frac{1}{S-4} = \frac{-\frac{1}{4}(S-4) + \frac{5}{4}S}{S(S-4)} = \frac{-\frac{1}{4}S+1 + \frac{5}{4}S}{S(S-4)}
= \frac{\left(-\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\right)S + 1}{S(S-4)} = \frac{1\cdot S + 1}{S(S-4)} = \frac{S+1}{S^{2}-4S},
confirmando que f(t) é a inversa correta (válida para t\ge 0 com região de convergência apropriada).

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{5}{4}e^{4t}-\frac{1}{4}

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