Determine a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4 s+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada inversa de Laplace da função \frac{1}{4s+1}.
Informações fornecidas: a expressão no domínio de s é \frac{1}{4s+1}. O objetivo é encontrar a função f(t) (normalmente para t\ge0) tal que \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{4s+1}.

Passo 2

Vamos recordar a definição útil e um par básico de transformadas. A transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge0) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt.
Um par padrão que usamos muito é
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\frac{1}{s+a},
onde a é uma constante (a igualdade vale para valores de s tal que a integral converge). Aqui t é a variável do tempo (domínio original) e s é a variável complexa no domínio de Laplace.

Passo 3

Faço uma manipulação algébrica simples para colocar a expressão na forma 1/(s+a). Começo fatorando 4 no denominador:
\frac{1}{4s+1}=\frac{1}{4\bigl(s+\tfrac{1}{4}\bigr)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}.

Passo 4

Agora reconheço o par de Laplace: \frac{1}{s+\tfrac{1}{4}} é a transformada de e^{-\frac{1}{4}t}. Pela linearidade da transformada inversa (ou seja, \mathcal{L}^{-1}\{cF(s)\}=c\,\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} para constante c), temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{4s+1}\right\}=\frac{1}{4}\,e^{-\frac{1}{4}t},
valendo para t\ge0.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas boa para confiança): calculo direto da transformada de f(t)=\tfrac{1}{4}e^{-t/4}:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+\tfrac{1}{4})t}\,dt=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{4s+1},
logo está correto.

Resposta

\dfrac{1}{4}e^{-t/4},\quad t\ge0

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