Determine a transformada inversa, x[n], para cada uma das seguintes transformadas Z e suas regiões de convergência associadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa Z juntos! A gente precisa encontrar $ x[n] $ a partir da transformada Z dada:
x[n]
Isso envolve conceitos de transformada Z e regiões de convergência. Vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ X(z) $ para facilitar a inversão. Podemos reescrever $ X(z) $ de maneira mais clara:
X(z)
Isso nos ajuda a visualizar melhor os termos que vamos decompor.

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompôr $ X(z) $ em termos mais simples que são mais fáceis de inverter. Queremos encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
X(z)
Isso significa que estamos quebrando a fração original em duas frações menores.

Passo 4

Para encontrar $ A $ e $ B $, vamos multiplicar ambos os lados pela parte denominadora comum:
A
Agora, vamos resolver isso para encontrar os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 5

Expandindo a equação anterior:
14 z^-1 = A - A4 z^-1 + B - B2 z^-1
Agora, agrupamos termos semelhantes:
14 z^-1 = (A + B) + (-A4 - B2) z^-1

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos constantes e dos termos com $ z^{-1} $:
z^-1
Resolvendo esse sistema, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 7

Da primeira equação, temos $ A = -B $. Substituindo na segunda equação:
A = -B
Então, $ A = -B = 1 $.

Passo 8

Agora que temos $ A = 1 $ e $ B = -1 $, podemos escrever $ X(z) $ como:
A = 1

Passo 9

Agora, vamos aplicar a transformada inversa Z em cada termo separadamente. Sabemos que:
Z^-1 11 - a z^-1 = a^n u[n]
onde $ u[n] $ é a função degrau unitário.

Passo 10

Aplicando a transformada inversa aos termos de $ X(z) $:
X(z)

Resposta

A transformada inversa é:
x[n] = (12)^n u[n] - (14)^n u[n]
e a região de convergência associada é $ |z| < \frac{1}{2} $.

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