Determine a transformada inversa,
, para cada uma das seguintes transformadas Z e suas regiões de convergência associadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa Z juntos! A gente precisa encontrar $ x[n] $ a partir da transformada Z dada:
Isso envolve conceitos de transformada Z e regiões de convergência. Vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e depois aplicar a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ X(z) $ para facilitar a inversão. Podemos reescrever $ X(z) $ de maneira mais clara:
Isso nos ajuda a visualizar melhor os termos que vamos decompor.
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompôr $ X(z) $ em termos mais simples que são mais fáceis de inverter. Queremos encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
Isso significa que estamos quebrando a fração original em duas frações menores.
Passo 4
Para encontrar $ A $ e $ B $, vamos multiplicar ambos os lados pela parte denominadora comum:
Agora, vamos resolver isso para encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 5
Expandindo a equação anterior:
Agora, agrupamos termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos constantes e dos termos com $ z^{-1} $:
Resolvendo esse sistema, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 7
Da primeira equação, temos $ A = -B $. Substituindo na segunda equação:
Então, $ A = -B = 1 $.
Passo 8
Agora que temos $ A = 1 $ e $ B = -1 $, podemos escrever $ X(z) $ como:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a transformada inversa Z em cada termo separadamente. Sabemos que:
onde $ u[n] $ é a função degrau unitário.
Passo 10
Aplicando a transformada inversa aos termos de $ X(z) $:
Resposta
A transformada inversa é:
e a região de convergência associada é $ |z| < \frac{1}{2} $.