Determine a Transformada Z, a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada um dos sinais abaixo, utilizando a equação de definição da transformada:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a Transformada Z, a região de convergência (ROC) e o diagrama de polos e zeros do sinal (13)^n-2 u[n-2]. Para isso, vamos utilizar os conceitos de Transformada Z e análise de polos e zeros. Precisaremos entender a definição da Transformada Z e como aplicá-la a sinais com deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a Transformada Z de um sinal x[n] é dada por:
X(z) = sumn=-infty^infty x[n] z^-n
No nosso caso, o sinal é (13)^n-2 u[n-2], onde u[n-2] é a função degrau unitário que começa em n=2. Isso significa que o sinal é zero para n < 2 e igual a (13)^n-2 para n >= 2.

Passo 3

Vamos reescrever a Transformada Z considerando que o sinal começa em n=2:
X(z) = sumn=2^infty (13)^n-2 z^-n
Podemos simplificar a expressão substituindo k = n - 2, então n = k + 2 e a soma passa a ser de k=0 a infty:
X(z) = sumk=0^infty (13)^k z^-(k+2) = z^-2 sumk=0^infty (13 z)^k

Passo 4

Reconhecemos que a soma é uma série geométrica da forma sumk=0^infty r^k, que converge para 11 - r quando |r| < 1. Aqui, r = 13 z, então a condição de convergência é | 13 z | < 1, ou seja, |z| > 13.
Portanto, temos:
X(z) = z^-21 - 13 z^-1 = 1z^2 - 13 z

Passo 5

Agora, vamos identificar os polos e zeros. A Transformada Z está na forma:
X(z) = 1z^2 - 13 z
Os zeros são os valores de z que fazem o numerador igual a zero. Como o numerador é constante (1), não há zeros finitos. No entanto, como o termo z^-2 estava presente inicialmente, temos dois zeros em z = 0.
Os polos são os valores de z que fazem o denominador igual a zero:
z^2 - 13 z = 0 Rightarrow z(z - 13) = 0
Portanto, temos polos em z = 0 e z = 13.

Passo 6

Finalmente, vamos montar o diagrama de polos e zeros. Temos dois zeros em z = 0 e um polo em z = 13. O ROC é |z| > 13, conforme identificado anteriormente.

Resposta

A Transformada Z do sinal (13)^n-2 u[n-2] é:
X(z) = 1z^2 - 13 z
A região de convergência (ROC) é |z| > 13.
O diagrama de polos e zeros possui dois zeros em z = 0 e um polo em z = 13.

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