Determine a Transformada Z, a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada um dos sinais abaixo, utilizando a equação de definição da transformada:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a Transformada Z, a região de convergência (ROC) e o diagrama de polos e zeros do sinal . Para isso, vamos utilizar os conceitos de Transformada Z e análise de polos e zeros. Precisaremos entender a definição da Transformada Z e como aplicá-la a sinais com deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a Transformada Z de um sinal é dada por:
No nosso caso, o sinal é , onde é a função degrau unitário que começa em . Isso significa que o sinal é zero para e igual a para .
Passo 3
Vamos reescrever a Transformada Z considerando que o sinal começa em :
Podemos simplificar a expressão substituindo , então e a soma passa a ser de a :
Passo 4
Reconhecemos que a soma é uma série geométrica da forma , que converge para quando . Aqui, , então a condição de convergência é , ou seja, |z| > 13.
Portanto, temos:
X(z) = z^-21 - 13 z^-1 = 1z^2 - 13 z
Passo 5
Agora, vamos identificar os polos e zeros. A Transformada Z está na forma:
X(z) = 1z^2 - 13 z
Os zeros são os valores de z que fazem o numerador igual a zero. Como o numerador é constante (1), não há zeros finitos. No entanto, como o termo z^-2 estava presente inicialmente, temos dois zeros em z = 0.
Os polos são os valores de z que fazem o denominador igual a zero:
z^2 - 13 z = 0 Rightarrow z(z - 13) = 0
Portanto, temos polos em z = 0 e z = 13.
Passo 6
Finalmente, vamos montar o diagrama de polos e zeros. Temos dois zeros em z = 0 e um polo em z = 13. O ROC é |z| > 13, conforme identificado anteriormente.
Resposta
A Transformada Z do sinal (13)^n-2 u[n-2] é:
X(z) = 1z^2 - 13 z
A região de convergência (ROC) é |z| > 13.
O diagrama de polos e zeros possui dois zeros em z = 0 e um polo em z = 13.