Determine a Transformada Z, a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada um dos sinais abaixo, utilizando a equação de definição da transformada:

Passo 1

Então, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Transformada Z, que é uma ferramenta poderosa usada em processamento de sinais e sistemas para analisar sinais discretos no domínio da frequência. O enunciado pede para gente determinar a Transformada Z, a Região de Convergência (ROC) e fazer o diagrama de polos e zeros para o sinal dado:
x[n] = (12)^n(u[n] - u[n-10])
Vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada Z e como identificar a ROC e os polos e zeros desse sinal. Vou te guiar passo a passo para resolver isso de forma simples!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o sinal $ x[n] $. A expressão x[n] é uma combinação de funções degrau unitário que ativa o sinal de $ n = 0 $ até $ n = 9 $. Ou seja, $ x[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^{n} $ para $ n = 0, 1, 2, \dots, 9 $ e é zero fora desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a definição da Transformada Z. Ela é dada por:
X(z) = sumn=-infty^infty x[n] z^-n
Mas, como nosso sinal é não nulo apenas de $ n = 0 $ a $ n = 9 $, a soma vai ser de $ n = 0 $ a $ n = 9 $.

Passo 4

Vamos substituir $ x[n] $ na definição:
x[n]
Podemos reescrever isso combinando X(z) = sumn=0^9 (12)^n z^-n com $ z^{-n} $:
(12)^n

Passo 5

Perceba que essa soma é uma progressão geométrica finita. A soma de uma progressão geométrica de $ N $ termos é dada por:
N
Aqui, $ a = 1 $ e $ r = \frac{1}{2} z^{-1} $, e $ N = 10 $. Vamos aplicar essa fórmula:
sumn=0^N-1 ar^n = a 1 - r^N1 - r

Passo 6

Simplificando a expressão, vamos multiplicar numerador e denominador por $ z^{10} $ para eliminar os termos negativos no expoente:
z^10
Mas isso pode ser mais complicado, então vamos deixar a forma anterior mais simples para identificar os polos e zeros:
X(z) = z^10 - (12)^10z^10 - 12 z^9

Passo 7

Agora, para encontrar a Região de Convergência (ROC), lembramos que para uma soma finita como essa, a ROC é todo o plano complexo, exceto nos pontos onde o denominador é zero.
Vamos achar quando o denominador é zero:
1 - 12 z^-1 = 0 implies z = 12

Passo 8

Então, a ROC é $ \mathbb{C} $ menos o ponto $ z = \frac{1}{2} $. Ou seja:
C

Passo 9

Por último, vamos identificar os polos e zeros. Os zeros são os valores que anulam o numerador:
1 - (12 z^-1)^10 = 0 implies z = 12 e^j2pi k10, k=0,1,dots,9
Então, temos 10 zeros igualmente distribuídos no círculo de raio $ \frac{1}{2} $.
O polo é o valor que anula o denominador:
12
Então, temos um polo em $ z = \frac{1}{2} $.

Resposta

A Transformada Z do sinal é:
X(z) = 1 - (12 z^-1)^101 - 12 z^-1
A Região de Convergência (ROC) é todo o plano complexo exceto $ z = \frac{1}{2} $, ou seja:
z = 12
No diagrama de polos e zeros, há 10 zeros distribuídos uniformemente em um círculo de raio $ \frac{1}{2} $ no plano $ z $, e um polo localizado em $ z = \frac{1}{2} $.

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