Determine a Transformada Z, a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada um dos sinais abaixo, utilizando a equação de definição da transformada:
Passo 1
Então, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Transformada Z, que é uma ferramenta poderosa usada em processamento de sinais e sistemas para analisar sinais discretos no domínio da frequência. O enunciado pede para gente determinar a Transformada Z, a Região de Convergência (ROC) e fazer o diagrama de polos e zeros para o sinal dado:
Vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada Z e como identificar a ROC e os polos e zeros desse sinal. Vou te guiar passo a passo para resolver isso de forma simples!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o sinal $ x[n] $. A expressão
é uma combinação de funções degrau unitário que ativa o sinal de $ n = 0 $ até $ n = 9 $. Ou seja, $ x[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^{n} $ para $ n = 0, 1, 2, \dots, 9 $ e é zero fora desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a definição da Transformada Z. Ela é dada por:
Mas, como nosso sinal é não nulo apenas de $ n = 0 $ a $ n = 9 $, a soma vai ser de $ n = 0 $ a $ n = 9 $.
Passo 4
Vamos substituir $ x[n] $ na definição:
Podemos reescrever isso combinando
com $ z^{-n} $:
Passo 5
Perceba que essa soma é uma progressão geométrica finita. A soma de uma progressão geométrica de $ N $ termos é dada por:
Aqui, $ a = 1 $ e $ r = \frac{1}{2} z^{-1} $, e $ N = 10 $. Vamos aplicar essa fórmula:
Passo 6
Simplificando a expressão, vamos multiplicar numerador e denominador por $ z^{10} $ para eliminar os termos negativos no expoente:
Mas isso pode ser mais complicado, então vamos deixar a forma anterior mais simples para identificar os polos e zeros:
Passo 7
Agora, para encontrar a Região de Convergência (ROC), lembramos que para uma soma finita como essa, a ROC é todo o plano complexo, exceto nos pontos onde o denominador é zero.
Vamos achar quando o denominador é zero:
Passo 8
Então, a ROC é $ \mathbb{C} $ menos o ponto $ z = \frac{1}{2} $. Ou seja:
Passo 9
Por último, vamos identificar os polos e zeros. Os zeros são os valores que anulam o numerador:
Então, temos 10 zeros igualmente distribuídos no círculo de raio $ \frac{1}{2} $.
O polo é o valor que anula o denominador:
Então, temos um polo em $ z = \frac{1}{2} $.
Resposta
A Transformada Z do sinal é:
A Região de Convergência (ROC) é todo o plano complexo exceto $ z = \frac{1}{2} $, ou seja:
No diagrama de polos e zeros, há 10 zeros distribuídos uniformemente em um círculo de raio $ \frac{1}{2} $ no plano $ z $, e um polo localizado em $ z = \frac{1}{2} $.