Questão 4 (07 pontos) Determine as demais razões trigonométricas de
sabendo que
е
.
Detalhe sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
.
O que o problema pede:
- Determinar as demais razões trigonométricas de
, ou seja , , , e .
Passo 2
Primeiro, recordar definições básicas (isso é importante para aplicar no exame):
-
- As seis razões trigonométricas relacionam-se por reciprocidade:
Aqui
e
podem ter sinal positivo ou negativo dependendo do quadrante em que
está.
Passo 3
Determinar o quadrante usando o intervalo dado e o sinal de
:
- O intervalo
significa que está no terceiro ou no quarto quadrante. -
. Como , o sinal positivo indica que e têm o mesmo sinal. - Nos quadrantes: terceiro (III) ambos
e são negativos; quarto (IV) é positivo e é negativo. - Logo, o único quadrante em
onde e têm o mesmo sinal é o terceiro quadrante. - Conclusão:
está no terceiro quadrante, portanto e . Também .
Passo 4
Usar a interpretação geométrica (triângulo retângulo de referência). Da definição de cotangente:
-
Podemos tomar, para um triângulo retângulo de referência (valores absolutos): - cateto adjacente
, - cateto oposto
.
Calcular a hipotenusa pelo teorema de Pitágoras:
Passo 5
Agora colocar os sinais corretos, lembrando que estamos no terceiro quadrante (ambos negativos):
-
, -
.
(Isto veio de tomar os valores absolutos calculados e atribuir o sinal negativo devido ao quadrante.)
Passo 6
Calcular as demais razões a partir de
e
:
-
Tangente:
-
Secante:
-
Cossecante:
(Para
o resultado é positivo
, conforme esperado no III quadrante; para
e
os sinais são negativos porque
e
são negativos.)
Passo 7
Opcional: escrever
e
com denominador racionalizado (às vezes exigido):