Questão 4 (07 pontos) Determine as demais razões trigonométricas de \theta sabendo que \operatorname{cotg} \theta=3 е \pi<\theta<2 \pi.
Detalhe sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \operatorname{cotg}\theta=3.
  • \pi<\theta<2\pi.
O que o problema pede:
  • Determinar as demais razões trigonométricas de \theta, ou seja \sin\theta, \cos\theta, \tan\theta, \operatorname{sec}\theta e \csc\theta.

Passo 2

Primeiro, recordar definições básicas (isso é importante para aplicar no exame):
  • \displaystyle \operatorname{cotg}\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1}{\tan\theta}.
  • As seis razões trigonométricas relacionam-se por reciprocidade: \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\qquad \operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta},\qquad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.
Aqui \cos\theta e \sin\theta podem ter sinal positivo ou negativo dependendo do quadrante em que \theta está.

Passo 3

Determinar o quadrante usando o intervalo dado e o sinal de \operatorname{cotg}\theta:
  • O intervalo \pi<\theta<2\pi significa que \theta está no terceiro ou no quarto quadrante.
  • \operatorname{cotg}\theta=3>0. Como \operatorname{cotg}\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}, o sinal positivo indica que \cos\theta e \sin\theta têm o mesmo sinal.
  • Nos quadrantes: terceiro (III) ambos \sin e \cos são negativos; quarto (IV) \cos é positivo e \sin é negativo.
  • Logo, o único quadrante em \pi<\theta<2\pi onde \sin e \cos têm o mesmo sinal é o terceiro quadrante.
  • Conclusão: \theta está no terceiro quadrante, portanto \sin\theta<0 e \cos\theta<0. Também \tan\theta>0.

Passo 4

Usar a interpretação geométrica (triângulo retângulo de referência). Da definição de cotangente:
  • \operatorname{cotg}\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=3=\dfrac{3}{1}.
    Podemos tomar, para um triângulo retângulo de referência (valores absolutos):
  • cateto adjacente =3,
  • cateto oposto =1.
Calcular a hipotenusa pelo teorema de Pitágoras:
r=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.

Passo 5

Agora colocar os sinais corretos, lembrando que estamos no terceiro quadrante (ambos negativos):
  • \cos\theta=-\dfrac{3}{\sqrt{10}},
  • \sin\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}.
(Isto veio de tomar os valores absolutos calculados e atribuir o sinal negativo devido ao quadrante.)

Passo 6

Calcular as demais razões a partir de \sin\theta e \cos\theta:
  • Tangente:
    \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{-\dfrac{1}{\sqrt{10}}}{-\dfrac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{1}{3}.
  • Secante:
    \operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{1}{-\dfrac{3}{\sqrt{10}}=-\dfrac{3}{\sqrt{10}}} =-\frac{\sqrt{10}}{3}.
  • Cossecante:
    \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{1}{-\dfrac{1}{\sqrt{10}}}=-\sqrt{10}.
(Para \tan\theta o resultado é positivo 1/3, conforme esperado no III quadrante; para \operatorname{sec}\theta e \csc\theta os sinais são negativos porque \cos\theta e \sin\theta são negativos.)

Passo 7

Opcional: escrever \sin\theta e \cos\theta com denominador racionalizado (às vezes exigido):
\sin\theta=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10},\qquad \cos\theta=-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}.

Resposta

\sin\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}
\cos\theta=-\dfrac{3}{\sqrt{10}}=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}
\tan\theta=\dfrac{1}{3}
\operatorname{sec}\theta=-\dfrac{\sqrt{10}}{3}
\csc\theta=-\sqrt{10}

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