Determine a transformada de Laplace, por definição, da seguinte função:
x^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a transformada de Laplace por definição da função f(x)=x^2. O conteúdo é transformada de Laplace, e vamos precisar usar a definição integral Lf(x)(s)=integral0^inftyf(x)e^-sx,dx.

Passo 2

Escrevendo a definição para x^2:
I=integral0^inftyx^2e^-sx,dx
A seguir, vamos calcular esse integral usando integração por partes.

Passo 3

Aplicando integração por partes na primeira vez: escolha u=x^2 e dv=e^-sxdx. Então du=2x,dx e v=-1se^-sx. Temos
I= -x^2se^-sx|0^infty+2sintegral0^inftyx e^-sx,dx
Como limxtoinftyx^2e^-sx=0 para s>0 e em x=0 dá zero, sobra
I=2sJ,
onde J=integral0^inftyx e^-sx,dx.

Passo 4

Agora aplicamos integração por partes de novo em J. Tome u=x, dv=e^-sxdx, logo du=dx e v=-1se^-sx. Assim
J=-xse^-sx|0^infty+1sintegral0^inftye^-sx,dx =0+1scdot1s=1s^2
Substituindo em I
I=2scdot1s^2=2s^3

Resposta

Lx^2(s)=2s^3, s>0

Exercícios relacionados