Cousidere A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=3 t-t^3, y=3 t^2, t in R
Encontre a área da superficie obtida pela rotação da curva A em torno do eixo x no intervalo 0 <= t <= 1.

Passo 1

A curva é dada por x=3t−t³ e y=3t² no intervalo 0≤t≤1. Vamos calcular a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x usando a fórmula de superfícies de revolução:
Precisamos usar a matéria de cálculo de superfície de revolução e a fórmula
S=2piintegrala^by(t),ds
onde ds=raizl(dx/dtr)^2+l(dy/dtr)^2,dt.

Passo 2

Primeiro calculemos as derivadas:
dxdt=3-3t^2=3(1-t^2),
dydt=6t
Logo o elemento de arco é
ds=raiz[3(1-t^2)]^2+(6t)^2,dt=raiz9(1-2t^2+t^4)+36t^2,dt=3raiz(1-t^2)^2+4t^2,dt
Repare que
(1-t^2)^2+4t^2=1-2t^2+t^4+4t^2=1+2t^2+t^4=(t^2+1)^2,
então
ds=3(t^2+1),dt

Passo 3

Agora montamos a integral da área:
S=2piintegral0^1y(t),ds=2piintegral0^13t^2l[3(t^2+1)r],dt=2piintegral0^19t^2(t^2+1),dt
Isso dá
S=18piintegral0^1(t^4+t^2),dt=18pil[t^55+t^33r]0^1

Passo 4

Basta avaliar:
1^55+1^33=15+13=3+515=815
Logo
S=18picdot815=14415pi=485pi

Resposta

A área da superfície é tfrac485pi.

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