Cousidere
, curva plana parametrizada por
Encontre a área da superficie obtida pela rotação da curva
em torno do eixo
no intervalo
.
Passo 1
A curva é dada por x=3t−t³ e y=3t² no intervalo 0≤t≤1. Vamos calcular a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x usando a fórmula de superfícies de revolução:
Precisamos usar a matéria de cálculo de superfície de revolução e a fórmula
onde
.
Passo 2
Primeiro calculemos as derivadas:
Logo o elemento de arco é
Repare que
então
Passo 3
Agora montamos a integral da área:
Isso dá
Passo 4
Basta avaliar:
Logo
Resposta
A área da superfície é
.