Determine a Transformada de Laplace da derivada de ordem 4 da função:
t^3 e^-t
Escolha uma opção:
a. 6 s^2(s+1)^4
b. 6 s^4(s+1)^4+6
c. 2 s^2(s+1)^3-2
d. s^2(s+1)^2-1
e. 2 s^3(s+1)^3-2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
d^4dt^4l(t^3e^-tr)
O conteúdo que usaremos é
  1. A transformada de Laplace de t^ne^-at:
Lt^ne^-at=n!(s+a)^n+1
  1. A propriedade da derivada de ordem n:
Lf^(n)(t) =s^nF(s)-s^n-1f(0)-s^n-2f'(0)-cdots-f^(n-1)(0),
onde F(s)=Lf(t).

Passo 2

Calcular primeiro
F(s)=Lt^3e^-t
pela fórmula acima, com n=3 e a=1:
F(s)=3!(s+1)^4=6(s+1)^4

Passo 3

Precisamos de f(0),,f'(0),,f''(0),,f'''(0) para aplicar a fórmula de derivadas.
Como f(t)=t^3e^-t, verifica‐se facilmente por derivação sucessiva que
f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=0, f'''(0)=6

Passo 4

Aplicando
Lf^(4)(t) =s^4F(s) -l[s^3f(0)+s^2f'(0)+s,f''(0)+f'''(0)r]
vem
Lf^(4) =s^4cdot6(s+1)^4 -;6 =6s^4(s+1)^4-6

Passo 5

Das opções dadas, a que mais se aproxima da expressão obtida é a que possui 6s^4(s+1)^4 (embora o termo constante difira de sinal em relação ao cálculo exato).

Resposta

(b) 6 s^4(s+1)^4+6

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