Determine a Transformada de Laplace da derivada de ordem 3 da função:
t e^-t
Escolha uma opção:
a. 6 s^2(s+1)^4
b. s^3(s+1)^2-s+2
c. 6 s^4(s+1)^4-6
d. 2 s^2(s+1)^3-2
e. s^2(s+1)^2-1

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da terceira derivada de f(t)=t e^-t. O conteúdo aqui é a fórmula da transformada de Laplace de derivadas, que diz:
Lf^(n)(t) = s^nF(s)-s^n-1f(0)-s^n-2f'(0)-cdots -f^(n-1)(0),
onde F(s)=Lf(t).

Passo 2

Primeiro calculamos a transformada de Laplace de f(t)=t e^-t. Usamos a regra do deslocamento:
Lt e^-t =integral0^inftyt e^-te^-s t,dt =1(s+1)^2
Logo,
F(s)=1(s+1)^2

Passo 3

Precisamos de f(0), f'(0) e f''(0). Calculemos as primeiras derivadas:
f(t)=t e^-t, f'(t)=(1-t)e^-t, f''(t)=(t-2)e^-t
Portanto,
f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=-2

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com n=3:
Lf^(3)(t) = s^3F(s)-s^2f(0)-s,f'(0)-f''(0)
Substituindo os valores:
Lf^(3)(t) = s^31(s+1)^2 - s^2cdot 0 - scdot 1 - (-2) =s^3(s+1)^2-s+2

Resposta

(b) s^3(s+1)^2-s+2

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