Determine a Transformada de Laplace da derivada de ordem 4 da função:
t^2 e^t
Escolha uma opção:
a. 2 s^3(s-1)^3-2
b. s^2(s-1)^2-1
c. 2 s^4(s-1)^3-2 s-6
d. 6 s^4(s-1)^4-6
e. 6 s^2(s-1)^4(s)

Passo 1

Vamos resolver a questão de Transformada de Laplace da derivada de ordem 4 de f(t)=t^2e^t. O conteúdo que vamos usar é a propriedade
Lf^(n)(t)(s) =s^nF(s)-s^n-1f(0)-s^n-2f'(0)-cdots -f^(n-1)(0),
onde F(s)=Lf(t)(s).

Passo 2

Primeiro, calculamos
F(s)=Lt^2e^t(s)
Usando o deslocamento no s, sabemos que
Lt^2e^at(s) =2(s-a)^3
Aqui a=1, logo
F(s)=2(s-1)^3

Passo 3

Precisamos dos valores iniciais de f e suas derivadas até a terceira ordem em t=0.
f em cada ordem:
f(t)=t^2e^t, f'(t)=(t^2+2t)e^t, f''(t)=(t^2+4t+2)e^t, f'''(t)=(t^2+6t+6)e^t
Então em t=0:
f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=2, f'''(0)=6

Passo 4

Aplicando a propriedade para n=4:
Lf^(4)(t)(s) =s^4F(s) - s^3f(0) - s^2f'(0) - s,f''(0) - f'''(0)
Substituindo F(s) e os valores iniciais:
Lf^(4)(s) =s^42(s-1)^3 - scdot 2 - 6 =2s^4(s-1)^3-2s-6

Resposta

c. 2 s^4(s-1)^3-2 s-6

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