Questão 1 - Regras de Derivação (18 pontos)
Cálculo:
Calcule o valor de d yd x no ponto (2,0) :
y^4+3 x y+x=2

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
y^4+3xy+x=2
e pede a derivada dydx no ponto (2,0).
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos usar regra da soma, regra do produto e regra da cadeia para obter uma expressão de dydx em função de x e y, e só depois substituir o ponto dado.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
a parte y^4 gera pela regra da cadeia
4y^3dydx,
a parte 3xy pela regra do produto gera
3l(xdydx+yr),
e a parte x 1. O lado direito é constante, então dá 0. Logo,
4y^3dydx ;+; 3l(xdydx+yr);+;1 ;=;0

Passo 3

Agora agrupamos os termos que contêm tfracdydx:
l(4y^3 + 3xr)dydx ;+; (3y + 1) ;=; 0
Isolando dydx, vem
dydx ;=; -,3y + 14y^3 + 3x

Passo 4

Basta avaliar no ponto (x,y)=(2,0). Neste caso 3y+1 = 3cdot0+1 = 1 e 4y^3+3x = 0 + 3cdot2 = 6. Portanto,
dydx|(2,0) = -16

Resposta

-tfrac16

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