Determine a transformada de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{t} \sin(3t) $. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de Laplace para funções do tipo exponencial multiplicada por uma função trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = e^{t} \sin(3t) $, então vamos substituir na fórmula:
Passo 3
Agora, simplificamos a expressão dentro da integral. Podemos combinar os termos exponenciais:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, usamos uma fórmula padrão da transformada de Laplace para funções da forma $ e^{at} \sin(bt) $. A fórmula é:
Comparando com a nossa função, temos $ a = 1 $ e $ b = 3 $.
Passo 5
Aplicando a fórmula com $ a = 1 $ e $ b = 3 $:
Simplificando $ 3^2 $ para 9:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) = e^{t} \sin(3t) $ é: