Determine a transformada de Laplace (F(s)=?)
f(t)=e^t sen(3 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{t} \sin(3t) $. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de Laplace para funções do tipo exponencial multiplicada por uma função trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = e^{t} \sin(3t) $, então vamos substituir na fórmula:
Lf(t) = integral0^+infty e^-st f(t) , dt

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão dentro da integral. Podemos combinar os termos exponenciais:
e^-st cdot e^t = e^t(1 - s)
Então, a integral fica:
F(s) = integral0^+infty e^t(1 - s) sin(3t) , dt

Passo 4

Para resolver essa integral, usamos uma fórmula padrão da transformada de Laplace para funções da forma $ e^{at} \sin(bt) $. A fórmula é:
e^at sin(bt)
Comparando com a nossa função, temos $ a = 1 $ e $ b = 3 $.

Passo 5

Aplicando a fórmula com $ a = 1 $ e $ b = 3 $:
a = 1
Simplificando $ 3^2 $ para 9:
b = 3

Resposta

A transformada de Laplace de $ f(t) = e^{t} \sin(3t) $ é:
f(t) = e^t sin(3t)

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