Seja o campo vetorial F(x, y)=nabla f(x, y), onde f(x, y)=x^2-y^2. Calcule a integral de linha de F ao longo da curva C, que é o arco de circunferência de raio 3. centrado na origem, percorrendo o quadrante 0 <= theta <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de um campo vetorial conservativo no arco de circunferência de raio 3 no primeiro quadrante, com 0 ≤ θ ≤ π/2. O campo é F(x,y)=∇f(x,y), onde f(x,y)=x²−y². Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos.

Passo 2

Em campos que são gradientes de uma função escalar (campo conservativo), a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos. Ou seja:
integralC vec Fcdot dvec r = f(ponto final) - f(ponto inicial)

Passo 3

Precisamos identificar os pontos inicial e final do arco:
– Para θ=0, o ponto é (3,0).
– Para θ=π/2, o ponto é (0,3).

Passo 4

Agora calculamos f em cada ponto:
f(3,0)=3²−0²=9
f(0,3)=0²−3²=−9
Então, aplicando o teorema:
integralC vec Fcdot dvec r = f(0,3) - f(3,0) = (-9) - 9 = -18

Resposta

-18

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