Seja o campo vetorial
, onde
. Calcule a integral de linha de
ao longo da curva
, que é o arco de circunferência de raio 3. centrado na origem, percorrendo o quadrante
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de um campo vetorial conservativo no arco de circunferência de raio 3 no primeiro quadrante, com 0 ≤ θ ≤ π/2. O campo é F(x,y)=∇f(x,y), onde f(x,y)=x²−y². Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos.
Passo 2
Em campos que são gradientes de uma função escalar (campo conservativo), a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos. Ou seja:
Passo 3
Precisamos identificar os pontos inicial e final do arco:
– Para θ=0, o ponto é (3,0).
– Para θ=π/2, o ponto é (0,3).
– Para θ=0, o ponto é (3,0).
– Para θ=π/2, o ponto é (0,3).
Passo 4
Agora calculamos f em cada ponto:
f(3,0)=3²−0²=9
f(0,3)=0²−3²=−9
Então, aplicando o teorema:
f(3,0)=3²−0²=9
f(0,3)=0²−3²=−9
Então, aplicando o teorema:
Resposta
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