(2) Use a formula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
;
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado da questão. Precisamos calcular a integral
usando a fórmula integral de Cauchy. Aqui, estamos trabalhando com números complexos e integrais no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre contornos no plano complexo, função holomorfa e a fórmula de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o contorno de integração. A integral está sendo calculada sobre o círculo
, que é um círculo centrado em
com raio 2, percorrido no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, observamos que a função que estamos integrando é
. O denominador
indica que há uma singularidade (ponto onde a função não é definida) em
.
Passo 4
Precisamos verificar se essa singularidade
está dentro do contorno de integração
. Calculamos a distância entre o ponto
e o centro do círculo
:
Como
, o ponto
está dentro do contorno.
Passo 5
Com a singularidade dentro do contorno, podemos aplicar a fórmula integral de Cauchy. A fórmula de Cauchy para integrais de funções da forma
diz que:
onde
é holomorfa dentro e sobre o contorno
, e
está dentro de
.
Passo 6
No nosso caso, temos
e
. Como já verificamos que
está dentro do contorno, podemos aplicar a fórmula diretamente:
Resposta
A integral
é igual a
.