(2) Use a formula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
integral|z-1|=2 z d zz-2;

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado da questão. Precisamos calcular a integral usando a fórmula integral de Cauchy. Aqui, estamos trabalhando com números complexos e integrais no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre contornos no plano complexo, função holomorfa e a fórmula de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o contorno de integração. A integral está sendo calculada sobre o círculo , que é um círculo centrado em com raio 2, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, observamos que a função que estamos integrando é . O denominador indica que há uma singularidade (ponto onde a função não é definida) em .

Passo 4

Precisamos verificar se essa singularidade |2 - 1| = 1 está dentro do contorno de integração . Calculamos a distância entre o ponto e o centro do círculo :
Como , o ponto está dentro do contorno.

Passo 5

Com a singularidade dentro do contorno, podemos aplicar a fórmula integral de Cauchy. A fórmula de Cauchy para integrais de funções da forma integralC f(z)z - a , dz = 2pi i cdot f(a) diz que:
onde é holomorfa dentro e sobre o contorno , e está dentro de .

Passo 6

No nosso caso, temos integral|z-1|=2 zz-2 , dz = 2pi i cdot f(2) = 2pi i cdot 2 = 4pi i e . Como já verificamos que está dentro do contorno, podemos aplicar a fórmula diretamente:

Resposta

A integral é igual a .

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