Determine a transformada de Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar a Transformada de Laplace da função
que é definida de forma diferente para
e para
. Vamos precisar usar conceitos de transformada de Laplace e função de Heaviside para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é igual a -1 quando
e igual a 1 quando
. Podemos reescrever essa função utilizando a Função de Heaviside
, que é igual a 0 para
e 1 para
.
Passo 3
Para expressar
com a Função de Heaviside, fazemos o seguinte:
Isso significa que a função muda de -1 para 1 no instante
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo separadamente. A transformada da Função de Heaviside
é:
Então, aplicando isso aos nossos termos, temos:
Para
, como
, a transformada fica:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos juntar as transformadas:
Distribuindo o sinal negativo:
Simplificando os termos com
:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: