Determine a transformada de Laplace de: f(t)=c-1 , se t <= 4 1 , se t>4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar a Transformada de Laplace da função que é definida de forma diferente para e para . Vamos precisar usar conceitos de transformada de Laplace e função de Heaviside para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é igual a -1 quando e igual a 1 quando . Podemos reescrever essa função utilizando a Função de Heaviside , que é igual a 0 para e 1 para .

Passo 3

Para expressar f(t) = -1 cdot u(4 - t) + 1 cdot u(t - 4) com a Função de Heaviside, fazemos o seguinte:
Isso significa que a função muda de -1 para 1 no instante .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo separadamente. A transformada da Função de Heaviside Lu(t - a) = e^-a ss é:
-L1 - u(t - 4) = -( 1s - e^-4ss )
Então, aplicando isso aos nossos termos, temos:
Para Lu(t - 4) = e^-4ss , como , a transformada fica:
Para :

Passo 5

Agora, vamos juntar as transformadas:
Lf(t) = -( 1s - e^-4ss ) + e^-4ss
Distribuindo o sinal negativo:
Lf(t) = -1s + e^-4ss + e^-4ss
Simplificando os termos com Lf(t) = -1s + 2 e^-4ss :

Resposta

A Transformada de Laplace de Lf(t) = 2 e^-4s - 1s é:

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