Verifique se F satisfaz a condição de Laplace:
f(x, y, z)=\left(x^{2}-y^{2}\right) z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y,z) = (x^2 - y^2)\,z
é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace
f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} = 0.
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em x, y e z.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas em relação a x.
A derivada de primeira ordem é
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl((x^2 - y^2)\,z\bigr) = 2x\,z.
Em seguida, a segunda derivada é
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x\,z) = 2\,z.

Passo 3

Agora, em relação a y.
A derivada de primeira ordem é
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((x^2 - y^2)\,z\bigr) = -2y\,z.
E a segunda derivada é
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y\,z) = -2\,z.

Passo 4

Por fim, em relação a z.
A derivada de primeira ordem é
f_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl((x^2 - y^2)\,z\bigr) = x^2 - y^2.
E a segunda derivada é
f_{zz} = \frac{\partial}{\partial z}(x^2 - y^2) = 0.

Passo 5

Somando as derivadas de segunda ordem temos
f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} = 2z + (-2z) + 0 = 0.
Como a soma é zero em todo ponto (x,y,z), concluímos que f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função f(x,y,z)=(x^2-y^2)\,z satisfaz a condição de Laplace.

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