Verifique se F satisfaz a condição de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em
,
e
.
Passo 2
Calculemos primeiro as derivadas em relação a
.
A derivada de primeira ordem é
A derivada de primeira ordem é
Em seguida, a segunda derivada é
Passo 3
Agora, em relação a
.
A derivada de primeira ordem é
A derivada de primeira ordem é
E a segunda derivada é
Passo 4
Por fim, em relação a
.
A derivada de primeira ordem é
A derivada de primeira ordem é
E a segunda derivada é
Passo 5
Somando as derivadas de segunda ordem temos
Como a soma é zero em todo ponto
, concluímos que
satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
satisfaz a condição de Laplace.