f(t) é a função no domínio do tempo (a nossa função a transformar).
s é a variável complexa da transformada, normalmente escrita s=\sigma + j\omega.
A integral vai de 0 a \infty porque temos u(t) (sinal causal).
A transformada existe se essa integral convergir (ficar finita). Quando resolver cada integral, vamos checar para quais valores de \Re(s) a integral converge — essa é a região de convergência (ROC).
Passo 3
Transformada de r(t)=t\,u(t).
Aplicamos a definição:
Para calcular essa integral vamos usar integração por partes. Lembrete rápido de integração por partes:
Se \displaystyle \int u\,dv, escolhemos u e dv e usamos
Para que \lim_{T\to\infty} T e^{-s T}=0 precisamos que \Re(s)>0 (porque e^{-sT}=e^{-\sigma T}e^{-j\omega T} e o fator e^{-\sigma T} domina T se \sigma>0). Logo, sob a condição \Re(s)>0, esse termo de fronteira é 0-0=0.
Se a for real, isso fica \Re(s)>-a, e se a for positivo a ROC é \Re(s)>-a (que inclui \Re(s)>-\text{(positivo)}) — em muitos casos de sinais físicos toma-se a\ge 0 então a ROC é \Re(s)>-a ou, se a real positivo, \Re(s)>-a que é menos restritivo do que \Re(s)>0.
Passo 6
Transformada de B e^{-j v t} u(t).
Este caso é um subcaso do anterior, com a = j v. Aplicando a mesma ideia:
desde que \Re(s + j v)>0. Como j v tem parte real zero (para v real), a condição fica simplesmente \Re(s)>0.
Observação intuitiva: e^{-j v t}=\cos(vt)-j\sin(vt). Se expandirmos a transformada, obteríamos as transformadas do cosseno e do seno combinadas em uma fração complexa; a forma compacta \dfrac{B}{s+jv} é especialmente útil em manipulações de sinais complexos.