Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções: r(t)=t u(t), ou seja, a função rampa; A e^{-a t} u(t); e B e^{-j v t} u(t).

Passo 1

O enunciado pede para determinar as transformadas de Laplace de três funções, todas multiplicadas pela função degrau unitário u(t). As funções são:
r(t)=t\,u(t),
A e^{-a t} u(t),
B e^{-j v t} u(t).
Informações relevantes que temos (explicitamente dadas ou implícitas):
  1. Cada função é multiplicada por u(t), ou seja, estamos a considerar sinais causais (definidos para t\ge 0 e nulos para t<0).
  2. A, B, a e v são constantes; j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Provavelmente v é real.
  3. Queremos \mathcal{L}\{\cdot\}, a transformada de Laplace, e também precisamos verificar a região de convergência em cada caso.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar cada símbolo, porque isso é a ferramenta que vamos usar o tempo todo:
A definição é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt.
Aqui:
  • f(t) é a função no domínio do tempo (a nossa função a transformar).
  • s é a variável complexa da transformada, normalmente escrita s=\sigma + j\omega.
  • A integral vai de 0 a \infty porque temos u(t) (sinal causal).
    A transformada existe se essa integral convergir (ficar finita). Quando resolver cada integral, vamos checar para quais valores de \Re(s) a integral converge — essa é a região de convergência (ROC).

Passo 3

Transformada de r(t)=t\,u(t).
Aplicamos a definição:
\mathcal{L}\{t\,u(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt.
Para calcular essa integral vamos usar integração por partes. Lembrete rápido de integração por partes:
Se \displaystyle \int u\,dv, escolhemos u e dv e usamos
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui escolhemos:
u=t \quad\Rightarrow\quad du=dt,
dv=e^{-s t}\,dt \quad\Rightarrow\quad v=\int e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-s t},
válido para s\neq 0.
Aplicando:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \left. t\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\,dt.
Vamos avaliar cada termo com cuidado e verificar convergência.

Passo 4

Avaliação dos termos do passo anterior:
  1. O termo de fronteira:
\left. -\frac{t}{s} e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{T}{s} e^{-s T}\right) - \left(-\frac{0}{s} e^{-s\cdot 0}\right).
Para que \lim_{T\to\infty} T e^{-s T}=0 precisamos que \Re(s)>0 (porque e^{-sT}=e^{-\sigma T}e^{-j\omega T} e o fator e^{-\sigma T} domina T se \sigma>0). Logo, sob a condição \Re(s)>0, esse termo de fronteira é 0-0=0.
  1. O integral restante:
- \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Essa integral é a integral de uma exponencial:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \left.\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\right|_{0}^{\infty} = \frac{1}{s},
novamente válida para \Re(s)>0.
Portanto,
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{1}{s^{2}},
com região de convergência \Re(s)>0.

Passo 5

Transformada de A e^{-a t} u(t).
Começamos pela definição:
\mathcal{L}\{A e^{-a t} u(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} A e^{-a t} e^{-s t}\,dt = A\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt.
Essa é uma integral exponencial básica. Para que ela convirja precisamos que \Re(s+a)>0, i.e., \Re(s)>-\Re(a).
Calculamos a integral:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt = \left.\left(-\frac{1}{s+a} e^{-(s+a)t}\right)\right|_{0}^{\infty} = \frac{1}{s+a},
sob a condição \Re(s+a)>0.
Multiplicando por A:
\mathcal{L}\{A e^{-a t} u(t)\}(s)=\frac{A}{s+a},\quad \Re(s)>-\Re(a).
Se a for real, isso fica \Re(s)>-a, e se a for positivo a ROC é \Re(s)>-a (que inclui \Re(s)>-\text{(positivo)}) — em muitos casos de sinais físicos toma-se a\ge 0 então a ROC é \Re(s)>-a ou, se a real positivo, \Re(s)>-a que é menos restritivo do que \Re(s)>0.

Passo 6

Transformada de B e^{-j v t} u(t).
Este caso é um subcaso do anterior, com a = j v. Aplicando a mesma ideia:
\mathcal{L}\{B e^{-j v t} u(t)\}(s)=B\int_{0}^{\infty} e^{-(s + j v)t}\,dt = \frac{B}{s + j v},
desde que \Re(s + j v)>0. Como j v tem parte real zero (para v real), a condição fica simplesmente \Re(s)>0.
Observação intuitiva: e^{-j v t}=\cos(vt)-j\sin(vt). Se expandirmos a transformada, obteríamos as transformadas do cosseno e do seno combinadas em uma fração complexa; a forma compacta \dfrac{B}{s+jv} é especialmente útil em manipulações de sinais complexos.

Resposta

\mathcal{L}\{t\,u(t)\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\quad \Re(s)>0
\mathcal{L}\{A e^{-a t} u(t)\}(s)=\frac{A}{s+a},\quad \Re(s)>-\Re(a)
\mathcal{L}\{B e^{-j v t} u(t)\}(s)=\frac{B}{s+jv},\quad \Re(s)>0 ]

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