Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar a transformada de Laplace dessa função. Informações relevantes fornecidas:
- A função a transformar é
. - Quer-se
, a transformada de Laplace em função de .
Passo 2
Uma boa estratégia é reduzir a potência de cosseno a uma combinação linear de cossenos com argumentos simples (isso facilita usar a tabela). Existe uma identidade trigonométrica que relaciona
com
e
. Vamos obter essa identidade a partir da fórmula do cosseno do triplo ângulo:
Essa fórmula é padrão; se isolar
obtemos:
Esta é a identidade que vamos usar porque transforma a potência em termos de funções cujas transformadas são diretas pela tabela.
Passo 3
Explicar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e a transformada de
:
- Linearidade: para quaisquer funções
e e constantes ,
- Transformada de
(tabela): para e com parte real suficientemente grande,
Aqui
é a variável complexa da transformada e
é a frequência dentro do cosseno.
Passo 4
Aplicar a identidade do Passo 2 e a linearidade do Passo 3:
Aplicando
em ambos os lados e usando linearidade,
Passo 5
Substituir as transformadas conhecidas:
Logo,
Passo 6
Simplificar a expressão algébrica passo a passo. Primeiro fatorar
:
Colocar sobre o mesmo denominador
:
Calcular numerador:
Substituindo de volta:
Passo 7
Comentário sobre a região de convergência: como
é limitada e cresce no máximo como uma constante, a transformada de Laplace converge para
. Portanto o resultado é válido para
.