Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
\cos ^{3} t

Passo 1

O enunciado dá a função \cos^{3} t e pede: determinar a transformada de Laplace dessa função. Informações relevantes fornecidas:
  • A função a transformar é \cos^{3} t.
  • Quer-se \mathcal{L}\{\cos^{3} t\}(s), a transformada de Laplace em função de s.

Passo 2

Uma boa estratégia é reduzir a potência de cosseno a uma combinação linear de cossenos com argumentos simples (isso facilita usar a tabela). Existe uma identidade trigonométrica que relaciona \cos^{3} t com \cos t e \cos 3t. Vamos obter essa identidade a partir da fórmula do cosseno do triplo ângulo:
\cos(3t) = 4\cos^{3} t - 3\cos t.
Essa fórmula é padrão; se isolar \cos^{3} t obtemos:
4\cos^{3} t = \cos(3t) + 3\cos t
\therefore \cos^{3} t = \frac{1}{4}\bigl(\cos(3t) + 3\cos t\bigr).
Esta é a identidade que vamos usar porque transforma a potência em termos de funções cujas transformadas são diretas pela tabela.

Passo 3

Explicar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e a transformada de \cos(at):
  • Linearidade: para quaisquer funções f e g e constantes a,b,
\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\}(s) = a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s) + b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
  • Transformada de \cos(at) (tabela): para a\in\mathbb{R} e s com parte real suficientemente grande,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui s é a variável complexa da transformada e a é a frequência dentro do cosseno.

Passo 4

Aplicar a identidade do Passo 2 e a linearidade do Passo 3:
\cos^{3} t = \frac{1}{4}\bigl(3\cos t + \cos 3t\bigr).
Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados e usando linearidade,
\mathcal{L}\{\cos^{3} t\}(s) = \frac{1}{4}\left(3\,\mathcal{L}\{\cos t\}(s) + \mathcal{L}\{\cos 3t\}(s)\right).

Passo 5

Substituir as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}, \qquad \mathcal{L}\{\cos 3t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+9}.
Logo,
\mathcal{L}\{\cos^{3} t\}(s) = \frac{1}{4}\left(3\cdot\frac{s}{s^{2}+1} + \frac{s}{s^{2}+9}\right).

Passo 6

Simplificar a expressão algébrica passo a passo. Primeiro fatorar s:
\mathcal{L}\{\cos^{3} t\}(s) = \frac{s}{4}\left(\frac{3}{s^{2}+1} + \frac{1}{s^{2}+9}\right).
Colocar sobre o mesmo denominador (s^{2}+1)(s^{2}+9):
\frac{3}{s^{2}+1} + \frac{1}{s^{2}+9} = \frac{3(s^{2}+9) + 1(s^{2}+1)}{(s^{2}+1)(s^{2}+9)}.
Calcular numerador:
3(s^{2}+9) + (s^{2}+1) = 3s^{2}+27 + s^{2}+1 = 4s^{2}+28 = 4(s^{2}+7).
Substituindo de volta:
\frac{s}{4}\cdot\frac{4(s^{2}+7)}{(s^{2}+1)(s^{2}+9)} = \frac{s(s^{2}+7)}{(s^{2}+1)(s^{2}+9)}.

Passo 7

Comentário sobre a região de convergência: como \cos^{3} t é limitada e cresce no máximo como uma constante, a transformada de Laplace converge para \operatorname{Re}(s)>0. Portanto o resultado é válido para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{\cos^{3} t\}(s)=\frac{s(s^{2}+7)}{(s^{2}+1)(s^{2}+9)},\qquad \operatorname{Re}(s)>0

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