Determine se f(t) é contínua, contínua por partes ou nenhuma delas em [0,10] e desenhe o gráfico de f(t).
f(t)= \begin{cases}1, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\ t-1, & \text { se } 1<t \leq 3 \\\ t^{2}-4, & \text { se } 3<t \leq 10\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) determinar se f(t)\) é contínua, contínua por partes ou nenhuma delas em \([0,10]\); (ii) desenhar (descrever) o gráfico de \(f(t)\). A função dada é
\[f(t)= \begin{cases}1, & \text{ se } 0\le t<1,\\[4pt] t-1, & \text{ se } 1<t\le 3,\\[4pt] t^{2}-4, & \text{ se } 3<t\le 10.\end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O intervalo considerado é [0,10]\].
- Há três expressões distintas com domínios: \([0,1), (1,3] e (3,10].
- Observação importante: o valor de f em t=1 não foi atribuído por nenhuma das três regras (a primeira dá apenas t<1, a segunda apenas t>1). Ou seja, tal como escrito, f(1) não está definida.
- O valor de f em t=3 está definido (pela segunda linha): f(3)=3-1.]
Passo 2
Vou lembrar e explicar o que significa ser contínuo e contínuo por partes (de forma didática e sem pular etapas).
Definição (continuidade em ponto interior): Seja um ponto a em (0,10). A função f é contínua em a se
\lim_{t\to a} f(t)=f(a).
Isto significa que o limite quando t se aproxima de a existe e é igual ao valor da função em a.
Continuidade em extremos de intervalo fechado: Para o extremo esquerdo 0, só faz sentido comparar o valor da função com o limite pela direita:
\text{\(f\) contínua em \(0\) se }\lim_{t\to 0^+} f(t)=f(0).í
Para o extremo direito 10, usamos o limite pela esquerda:
\text{\(f\) contínua em \(10\) se }\lim_{t\to 10^-} f(t)=f(10).í
Limites laterais e tipos de descontinuidade: se os limites à esquerda e à direita em um ponto existem e são finitos mas diferentes, temos uma descontinuidade do primeiro tipo (descontinuidade em salto). Se a função não está definida no ponto, isso pode ser uma descontinuidade removível (se os limites laterais coincidem) ou um salto (se são diferentes). Para ser “contínua por partes” costuma-se exigir que haja apenas um número finito de descontinuidades do primeiro tipo e que a função seja contínua em todo o restante do intervalo.
Também é útil saber que constantes e polinômios são funções contínuas em todo ponto do seu domínio. Vou usar isso para os trechos.
Passo 3
Análise dos trechos interiores (pontos não fronteira das peças):
No intervalo aberto (0,1) a função vale f(t)=1, que é uma constante. Constantes são contínuas em todos os pontos do seu domínio; logo f é contínua em todo t\in(0,1).
No intervalo aberto (1,3) a função vale f(t)=t-1, que é um polinômio de grau 1. Polinômios são contínuos em todo lugar; logo f é contínua em todo t\in(1,3).
No intervalo aberto (3,10) a função vale f(t)=t^{2}-4, que é um polinômio (grau 2), logo contínuo em todo t\in(3,10).
Portanto, fora das fronteiras t=0,1,3,10 a função é contínua.
Passo 4
Verificação em t=0 (extremo esquerdo):
A função está definida em 0 pela primeira regra: f(0)=1.
O limite à direita é \lim_{t\to 0^+} f(t)=\lim_{t\to 0^+} 1 = 1.
Como \lim_{t\to 0^+} f(t)=f(0)=1, f é contínua em t=0.
Pequeno comentário didático: em extremos só olhamos o lado que existe no domínio (à direita em 0, à esquerda em 10).
Passo 5
Verificação em t=1:
Observação já feita: não há definição de f(1) nas três regras dadas (a primeira exige t<1, a segunda exige t>1). Logo f(1) não está definido.
Mesmo assim podemos calcular limites laterais:
Limite à esquerda: \displaystyle\lim_{t\to 1^-} f(t)=\lim_{t\to 1^-} 1 = 1.
Limite à direita: \displaystyle\lim_{t\to 1^+} f(t)=\lim_{t\to 1^+} (t-1)=0.
Como os dois limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes (1\neq 0), existe uma descontinuidade do tipo salto em t=1. Além disso, como f(1) não está definido, definitivamente f não é contínua em t=1.
Didática extra: mesmo que redefiníssemos f(1) para algum valor, não seria possível tornar f contínua em 1 porque os limites laterais não coincidem — portanto a descontinuidade não é removível, é um salto.
Passo 6
Verificação em t=3:
A segunda regra inclui t=3, portanto f(3)=3-1=2.
Calcular limites laterais:
Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{t\to 3^-} f(t)=\lim_{t\to 3^-} (t-1)=3-1=2.
Limite pela direita: \displaystyle\lim_{t\to 3^+} f(t)=\lim_{t\to 3^+} (t^{2}-4)=3^{2}-4=9-4=5.
Como os limites laterais existem e são finitos mas diferentes (2\neq 5), há uma descontinuidade em salto em t=3. A função está definida em 3 mas não é contínua lá.
Passo 7
Verificação em t=10 (extremo direito):
A terceira regra dá f(10)=10^{2}-4=100-4=96.
O limite pela esquerda é \displaystyle\lim_{t\to 10^-} f(t)=\lim_{t\to 10^-} (t^{2}-4)=96.
Portanto \lim_{t\to 10^-} f(t)=f(10), logo f é contínua em t=10.
Passo 8
Resumo das regularidades:
f é contínua em todos os pontos de [0,10] exceto t=1 e t=3.
Em t=1 e t=3 ocorrem descontinuidades do primeiro tipo (saltos): os limites laterais existem e são finitos, mas diferentes.
Observação sobre domínio: estritamente falando, porque f(1) não está definido, f não é uma função definida em todo o conjunto [0,10] tal como escrito; porém a pergunta costuma aceitar a expressão “contínua por partes” quando a função tem apenas um número finito de saltos e é contínua em todo o resto do intervalo. Aqui essa condição é satisfeita (tem somente os saltos em 1 e 3).
Conclusão conceitual: f não é contínua em [0,10] (porque falha em t=1 e t=3); porém f é contínua por partes em [0,10] pois é contínua em cada uma das peças [0,1), (1,3] e (3,10] e tem apenas dois saltos.
Passo 9
Descrição do gráfico (para desenhar à mão — vou descrever passo a passo e indicar pontos abertos/fechados):
Para 0\le t<1: gráfico é a reta horizontal y=1. Em t=0 há um ponto preenchido (0,1). Em t\to 1^- o valor tende a 1, mas em t=1 não existe ponto preenchido (colocar um círculo aberto em (1,1)).
Para 1<t\le 3: gráfico é a reta y=t-1, que para t logo acima de 1 começa perto de 0 (valor em 1^+ seria 0); como f(1) não existe, coloque um círculo aberto em (1,0). A reta cresce linearmente até t=3, onde tem valor f(3)=2; coloque um ponto preenchido em (3,2).
Para 3<t\le 10: gráfico é a parábola y=t^{2}-4. No ponto logo à direita de 3 o valor é 5 (colocar um círculo aberto em (3,5) porque o trecho direito não inclui t=3), e a parábola cresce para a direita até (10,96) que é um ponto preenchido. Note que há um salto entre o ponto preenchido (3,2) e o início do ramo parabólico (3,5).
Resumo visual dos pontos críticos:
Ponto preenchido em (0,1).
Círculo aberto em (1,1) e em (1,0) (dois valores-limite diferentes à esquerda e à direita).
Segmento linear conectando (1^+,0) a (3,2) com ponto preenchido em (3,2).
Círculo aberto em (3,5) e ramo parabólico a partir de (3^+,5) até (10,96).
Resposta
Contínua por partes (não contínua em [0,10]; há saltos em t=1 e t=3).
Gráfico: reta horizontal y=1 em [0,1) com círculo aberto em (1,1); segmento y=t-1 em (1,3] com ponto preenchido em (3,2); ramo y=t^{2}-4 em (3,10] com círculo aberto em (3,5) e ponto preenchido em (10,96).