Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
e^{-t} t \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função e^{-t}\,t\,\sin 2t.
Informações dadas:
  • A função a transformar é e^{-t}\,t\,\sin 2t.
  • Não há outras informações numéricas; pede-se a transformada em termos de s.

Passo 2

Vamos lembrar duas fórmulas/propriedades da transformada de Laplace que usaremos (explicadas em seguida):
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}},
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\bigl(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr).
Explicando cada uma de forma didática:
  • A fórmula \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} vem da integração direta
    \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(\omega t)\,dt,
    que pode ser resolvida por integração por partes ou usando formas exponenciais complexas. Nessa fórmula, s é a variável complexa da transformada e \omega é a frequência angular da função seno.
  • A propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-\dfrac{d}{ds}\bigl(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr) se demonstra trocando derivação e integração:
    \mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} t f(t)e^{-st}\,dt = -\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt = -\frac{d}{ds}\bigl(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr),
    porque \dfrac{d}{ds}e^{-st}=-t e^{-st} e, sob condições usuais de convergência, pode-se trocar a ordem de derivação e integração.

Passo 3

Calcular primeiro \mathcal{L}\{\sin 2t\}(s) usando a fórmula com \omega=2:
\mathcal{L}\{\sin 2t\}(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 4

Aplicar a propriedade do multiplicador t para obter \mathcal{L}\{t\sin 2t\}(s). Usamos
\mathcal{L}\{t\sin 2t\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{2}{s^{2}+4}\right).
Agora fazemos a derivada passo a passo. Seja g(s)=\dfrac{2}{s^{2}+4}=2(s^{2}+4)^{-1}. Então
g'(s)=2\cdot\bigl(-1\bigr)(s^{2}+4)^{-2}\cdot 2s = -\frac{4s}{(s^{2}+4)^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\sin 2t\}(s)=-g'(s)=\frac{4s}{(s^{2}+4)^{2}}.

Passo 5

Agora tratamos o fator exponencial e^{-t}. A propriedade de translação (shift) na variável s diz:
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). No nosso caso a=-1 (pois temos e^{-t}=e^{(-1)t}), então devemos substituir s por s- a = s-(-1)=s+1.
Assim, aplicando o shift à transformada obtida no passo anterior:
\mathcal{L}\{e^{-t}\,t\sin 2t\}(s)=\left.\frac{4s}{(s^{2}+4)^{2}}\right|_{s\mapsto s+1} =\frac{4(s+1)}\bigl((s+1)^{2}+4\bigr)^{2}.

Passo 6

Comentário sobre região de convergência: a transformada \mathcal{L}\{t\sin 2t\}(s) converge para \operatorname{Re}(s)>0; aplicando o shift s\mapsto s+1 a região fica \operatorname{Re}(s)>-1. Então a expressão final vale para \operatorname{Re}(s)>-1.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-t}\,t\sin 2t\}(s)=\frac{4(s+1)}{\bigl((s+1)^{2}+4\bigr)^{2}}

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