Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a transformar é
. - Não há outras informações numéricas; pede-se a transformada em termos de
.
Passo 2
Vamos lembrar duas fórmulas/propriedades da transformada de Laplace que usaremos (explicadas em seguida):
Explicando cada uma de forma didática:
-
A fórmula
vem da integração direta que pode ser resolvida por integração por partes ou usando formas exponenciais complexas. Nessa fórmula,é a variável complexa da transformada e é a frequência angular da função seno. -
A propriedade
se demonstra trocando derivação e integração: porquee, sob condições usuais de convergência, pode-se trocar a ordem de derivação e integração.
Passo 3
Calcular primeiro
usando a fórmula com
:
Passo 4
Aplicar a propriedade do multiplicador
para obter
. Usamos
Agora fazemos a derivada passo a passo. Seja
. Então
Portanto
Passo 5
Agora tratamos o fator exponencial
. A propriedade de translação (shift) na variável
diz:
onde
. No nosso caso
(pois temos
), então devemos substituir
por
.
Assim, aplicando o shift à transformada obtida no passo anterior:
Passo 6
Comentário sobre região de convergência: a transformada
converge para
; aplicando o shift
a região fica
. Então a expressão final vale para
.