Determine a transformada de Laplace da função:
f(t)=e^{\alpha t};

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=e^{\alpha t}. Para isso vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve uma integral imprópria e implica uma condição de convergência no parâmetro s.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,e^{\alpha t}\,dt.

Passo 3

No integrando podemos juntar os expoentes:
e^{-st}\,e^{\alpha t} =e^{-(s-\alpha)t}.
Logo a integral vira
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-\alpha)t}\,dt.
Sabemos que
\int e^{-(s-\alpha)t}\,dt =-\frac{1}{s-\alpha}\,e^{-(s-\alpha)t}.

Passo 4

Para a convergência da integral imprópria precisamos de \Re(s-\alpha)>0, ou seja \Re(s)>\Re(\alpha). Avaliando o resultado entre 0 e \infty:
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-\alpha)t}\,dt =\lim_{T\to\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{s-\alpha}e^{-(s-\alpha)t}\Bigr]_{0}^{T} =\Bigl[0 -\bigl(-\tfrac{1}{s-\alpha}\bigr)\Bigr] =\frac{1}{s-\alpha}.

Resposta

Para \Re(s)>\Re(\alpha) temos
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}(s) =\frac{1}{s-\alpha}.

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