Encontre a solução da equação diferencial
y^{\prime \prime}+y=t+\omega \sin (\omega t)
satisfazendo as condições iniciais
y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

Estamos diante da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + y = t + \omega \sin(\omega t),
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1. Para resolver, primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma solução particular para o lado direito e, por fim, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A solução geral da equação homogênea
y'' + y = 0
é
y_h(t) = C_{1}\cos t + C_{2}\sin t.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_{p1} para a parte polinomial t. Como o termo é de grau 1, tentamos
y_{p1}(t) = At + B.
Então y_{p1}''=0 e
y_{p1}'' + y_{p1} = At + B \stackrel{!}{=} t.
Comparando coeficientes: A=1 e B=0. Logo
y_{p1}(t) = t.

Passo 4

Agora achamos uma solução particular y_{p2} para \omega\sin(\omega t). Tentamos
y_{p2}(t) = a\sin(\omega t) + b\cos(\omega t).
Calculamos
y_{p2}'' + y_{p2} = \bigl(-a\omega^2\sin(\omega t)-b\omega^2\cos(\omega t)\bigr) + \bigl(a\sin(\omega t)+b\cos(\omega t)\bigr)
= a(1-\omega^2)\sin(\omega t) + b(1-\omega^2)\cos(\omega t)
que deve igualar \omega\sin(\omega t). Assim
a(1-\omega^2)=\omega,\quad b(1-\omega^2)=0
\Rightarrow a=\frac{\omega}{1-\omega^2},\\ b=0. Portanto
y_{p2}(t)=\frac{\omega}{1-\omega^2}\,\sin(\omega t).

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_{p1}(t) + y_{p2}(t) = C_{1}\cos t + C_{2}\sin t + t + \frac{\omega}{1-\omega^2}\,\sin(\omega t).
Usando y(0)=2:
y(0)=C_{1}+0+0+0=2 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=2.

Passo 6

Derivando e aplicando y'(0)=1:
y'(t) = -2\sin t + C_{2}\cos t + 1 + \frac{\omega}{1-\omega^2}\,\omega\cos(\omega t).
Em t=0:
y'(0) = 0 + C_{2} + 1 + \frac{\omega^2}{1-\omega^2} = 1
\Longrightarrow C_{2} = 1 - 1 - \frac{\omega^2}{1-\omega^2} = -\frac{\omega^2}{1-\omega^2} = \frac{\omega^2}{\omega^2 -1}.

Resposta

\boxed{ y(t)=2\cos t +\frac{\omega^2}{\omega^2 -1}\,\sin t + t -\frac{\omega}{\omega^2 -1}\,\sin(\omega t). }

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